Simmetria centrale

Il punto simmetrico di A, A', ha coordinate

x' = 2xP - xA = 1 - a

y' = 2yP - yA = 3 - a

Pertanto deve risultare

(1 - a)^2 + (3 - a)^2 = (2 rad 5)^2

1 - 2a + a^2 + 9 - 6a + a^2 = 4*5

2a^2 - 8a + 10 - 20 = 0

a^2 - 4a - 5 = 0

a^2 - 5a + a - 5 = 0

a(a-5) + (a-5) = 0

(a+1)(a -5) = 0

a = -1 V a = 5

Ho la netta impressione che il risultato atteso soffra di costipazione, offrendo l'alternativa fra due soli valori.
Interpretando il testo alla lettera così com'è scritto, e senza introdurre illecite ipotesi semplificatrici, io trovo un'alternativa fra due intervalli belli larghi.
Poi, ovviamente, se avessi cannato di brutto potrei sempre incolpare la progressiva atrofia che affligge il mio cerebro (e ossessiona la mia mente).
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* |AP|^2 = (4*a^2 - 8*a + 5)/2
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Tutti e soli i punti a distanza 2*√5 dall'origine sono sulla circonferenza
* Γ0 ≡ x^2 + y^2 = (2*√5)^2 = 20
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Tutti e soli i punti simmetrici di A(a, a) rispetto a P(1/2, 3/2) sono sulla circonferenza
* Γ1 ≡ (x - 1/2)^2 + (y - 3/2)^2 = |AP|^2 = (4*a^2 - 8*a + 5)/2 ≡
≡ x^2 + y^2 = x + 3*y + 2*a^2 - 4*a
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Il sistema
* Γ0 & Γ1 ≡ (x^2 + y^2 = 20) & (x^2 + y^2 = x + 3*y + 2*a^2 - 4*a) ≡
≡ (x^2 + y^2 = 20) & (20 = x + 3*y + 2*a^2 - 4*a) ≡
≡ (x^2 + y^2 = 20) & (y = (20 - x - 2*a^2 + 4*a)/3)
ha risolvente
* x^2 + ((20 - x - 2*a^2 + 4*a)/3)^2 - 20 = 0 ≡
≡ 5*x^2 + 2*(a^2 - 2*a - 10)*x + 2*(a^4 - 4*a^3 - 16*a^2 + 40*a + 55) = 0
con discriminante che, per avere soluzioni reali, dev'essere non negativo
* Δ(a) = - 36*(a^4 - 4*a^3 - 16*a^2 + 40*a + 50) >= 0 ≡
≡ a^4 - 4*a^3 - 16*a^2 + 40*a + 50 <= 0 ≡
≡ (a^2 - 2 a - 10 - 5*√2)*(a^2 - 2 a - 10 + 5*√2) <= 0 ≡
≡ u*v <= 0 ≡ (u < 0) & (v >= 0) oppure (u > 0) & (v <= 0) ≡
≡ 1 - √(11 + 5*√2) ~= - 3.251 <= a <= 1 - √(11 - 5*√2) ~= - 0.982
oppure
≡ 1 + √(11 - 5*√2) ~= 2.982 <= a <= 1 + √(11 + 5*√2) ~= 5.251