Sia $\alpha$ un numero reale, si dice serie armonica generalizzata la serie:
$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^\alpha } }$$
Si tratta di una serie a termini positivi , il cui carattere è:
Convergente se $ \alpha>1$
Divergente se $\alpha\leq1$
Quindi, ad esempio, per $\alpha=1$ la serie
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^\alpha } }=+\infty$
Quindi la serie è divergente.
Per $\alpha=2$ la serie
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^\alpha } }<+\infty$
Una possibile spiegazione deriva dal fatto che $\frac{1}{n^2}$ va a zero molto più velocemente di $\frac{1}{n}$
DIMOSTRAZIONE
Partendo dalla serie armonica generalizzata:
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{\alpha } } }=1+\frac{1}{2^{\alpha } }+\frac{1}{3^{\alpha } }+…+\frac{1}{n^{\alpha } } +...$
CASO DIVERGENZA
Per $\alpha\leq1$ si ha la disuguaglianza $n^{\alpha }<n$ e allora $\frac{1}{n^{\alpha } }>\frac{1}{n}$ quindi da ciò deriva che la serie armonica generalizzata per $\alpha<1$ è divergente, essendo maggiore della serie armonica che è divergente.
CASO CONVERGENZA
Per se $ \alpha>1$ si può utilizzare la serie di Mengoli oppure la disuguaglianza di Bernoulli, oppure per confronto, stabilendo che la serie è convergente.
