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[Risolto] serie armonica

  

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Salve, non ho ben capito la serie armonica.

Ovvero, la definizione dice che la serie armonica  1/n^a

- diverge per a <= 1

-converge per a > 1

 

Se io considero la serie 1/n , se sommo gli elementi (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +1/5 ....)ottengo un numero sempre più grande di 1 e quindi la serie diverge come da definizione.

Invece se io considero la serie 1/n^2, se sommo gli elementi (1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 .....) ottengo anche in questo caso un numero sempre più grande di uno, e quindi dovrebbe divergere anche questa diversamente da quanto scritto nella definizione.

Dove sto sbagliando ? Grazie. 

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Sia $\alpha$ un numero reale, si dice serie armonica generalizzata la serie:

$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^\alpha } }$$

Si tratta di una serie a termini positivi , il cui carattere è:

Convergente se $ \alpha>1$

Divergente se $\alpha\leq1$

Quindi, ad esempio, per $\alpha=1$ la serie

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^\alpha } }=+\infty$

Quindi la serie è divergente.

Per $\alpha=2$ la serie

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^\alpha } }<+\infty$

Una possibile spiegazione deriva dal fatto che $\frac{1}{n^2}$ va a zero molto più velocemente di $\frac{1}{n}$

DIMOSTRAZIONE

Partendo dalla serie armonica generalizzata:

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{\alpha } } }=1+\frac{1}{2^{\alpha } }+\frac{1}{3^{\alpha } }+…+\frac{1}{n^{\alpha } } +...$

CASO DIVERGENZA

Per $\alpha\leq1$ si ha la disuguaglianza $n^{\alpha }<n$ e allora $\frac{1}{n^{\alpha } }>\frac{1}{n}$ quindi da ciò deriva che la serie armonica generalizzata per $\alpha<1$ è divergente, essendo maggiore della serie armonica che è divergente.

CASO CONVERGENZA

Per se $ \alpha>1$ si può utilizzare la serie di Mengoli oppure la disuguaglianza di Bernoulli, oppure per confronto, stabilendo che la serie è convergente.




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Temo si tratti di immagini mentali non rigorose o addirittura approssimative.
Applicando l'intuizione a concetti vaghi come "sempre più grande di uno" non è difficile prendere topiche epocali.
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2Fk%5E2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2Fk%5E3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2Fk%5E1.71
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2Fk%5Epi

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ok grazie , attraverso i grafici ora mi è chiaro

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