Sia f(x) una funzione che verifica per ogni x reale l'uguaglianza
3 f(x) + 2 f(1-x) = 9 + 2x.
Determinare f(2).
Sia f(x) una funzione che verifica per ogni x reale l'uguaglianza
3 f(x) + 2 f(1-x) = 9 + 2x.
Determinare f(2).
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Livello 7
Ho scritto questo post perché mi incuriosisce vedere se qualcuno la risolve in modo differente rispetto al mio.
Supposto che f(x)=ax+b
Abbiamo:
3f(x)=3ax+3b
f(1-x)=a(1-x)+b
2*f(1-x)=2a(1-x)+2b
Quindi calcoliamo:
3·a·x + 3·b + 2·a·(1 - x) + 2·b = a·x + (2·a + 5·b)
che è il primo membro della identità proposta
Il secondo membro dell'identità proposta è
9+2x
deduco quindi che:
{2a+5b=9
{a=2
a = 2 ∧ b = 1
Quindi deduco che:
f(x)=2x+1 -------->f(2)= 2·2 + 1 ----->f(2) =5
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Genius II
f(2) = 5
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Infatti
- 1) 3*f(- 1) + 2*f(2) = 7 ≡ f(- 1) = (7 - 2*f(2))/3
+ 2) 3*f(2) + 2*f(- 1) = 13 ≡
≡ f(2) = (13 - 2*f(- 1))/3 = (13 - 2*(7 - 2*f(2))/3)/3
e, visto che il quesito chiede solo un valore,
* f(2) = (13 - 2*(7 - 2*f(2))/3)/3 ≡ (5/9)*(5 - f(2)) = 0 ≡ f(2) = 5
da cui
f(- 1) = (7 - 2*5)/3 = - 1
Analogamente
0) 3*f(0) + 2*f(1) = 9 ≡
≡ f(0) = (9 - 2*f(1))/3 = (9 - 2*(11 - 2*f(0))/3)/3 ≡ f(0) = 1
1) 3*f(1) + 2*f(0) = 11 ≡ f(1) = (11 - 2*f(0))/3 = 3
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Educated guess (~= congettura plausibile)
* f(x) = 2*x + 1
Verifica
* 3*f(x) + 2*f(1 - x) = 9 + 2*x ≡
≡ 3*(2*x + 1) + 2*(1 - (2*x + 1)) = 9 + 2*(2*x + 1) ≡
≡ 2*x + 3 = 4*x + 11
PECCATO, SEMBRAVA UN'IDEA ACCETTABILE.
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AGGIUNTA (dopo mezz'oretta di rodimento)
Mi vergogno e chiedo scusa: per la cosiddetta "Verifica" avrei di che vergognarmi anche se l'avessi scritta da ubriaco, anziché solo da distratto!
Ri-Verifica
* f(1 - x) = 2*(1 - x) + 1 = 3 - 2*x
* 3*f(x) + 2*f(1 - x) = 9 + 2*x ≡
≡ 3*(2*x + 1) + 2*(3 - 2*x) = 9 + 2*x ≡
≡ 2*x + 9 = 9 + 2*x
PORCA PALETTA, LO ERA UN'IDEA ACCETTABILE.
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Genius I
@exprof f(1 - x) = 2(1-x) + 1 = 3 - 2x
e 3(2x+1) + 2(3 - 2x) = 6x + 3 + 6 - 4x = 9 + 2x e funziona.
Ma come hai fatto a capire che il profilo é quello ?
@EidosM
Aggiornando la pagina dopo avere aggiunto la mia AGGIUNTA ho visto i tuoi due commenti.
Sul primo non ho nulla da dire perché non so se il "modo differente rispetto al mio" sia il tuo: non l'hai nominato.
Sul secondo ("Ma come hai fatto ...") ho messo in fila le quattro coppie {x, f(x)} che avevo calcolato per risponderti
{- 1, - 1}
{0, 1}
{1, 3}
{2, 5}
e m'è apparso l'inizio della successione dei dispari (e funzionava anche con - 1) poi ho cannato alla grande con la pseudo verifica perché m'era venuto il dubbio "Ma l'anticoagulante delle dieci l'ho preso o no? mica mi ricordo se ho sentito la sveglia. Madonna, la vecchiaia! Menomale che anche oggi mi sono svegliato. Cerchiamo d'arrivare a domani.".
Devi capire che pensieri così, anche se molto stupidi, ogni tanto vengono e non li fermi.
Come disse l'omino di Altan «A volte mi passano per la mente pensieri che non condivido.».
in generale... {e senza ipotesi sulla struttura della f }...
data f tale che per ogni x:
3 f(x) + 2 f(1-x) = 9 + 2x
posto t=1-x --> x=1-t --> 3*f(1-t) + 2f(t) = 9 +2 -2t ---> 3*f(1-t) + 2f(t) = 11-2t
per l'indipendenza di f dal nome della variabile possiamo scrivere:
3 f(1-x) + 2f(x) =11 -2x
che sommata alla data :
5*f(x) + 5f(1-x) = 20 ---> f(x) + f(1-x) = 4
f(1-x) = 4- f(x)
che sostituita nella data :
3 f(x) + 2 (4-f(x))= 9 + 2x
da cui otteniamo la f:
f(x) = 1+ 2x
quindi f(2) = 1+2*2 = 5
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Livello 5