[Risolto] Segno di uno scambio

@simon data sigma=s1....st=s'1....s'm con s1....st e s'1....s'm scambi dati i<j chiamiamo parità di sigma (permutazione) (e indico sigma con ¥) la parità del numero di coppie il cui ordine non è rispettato da ¥, cioè (-1)^k...

Poi nell'accenno di dimostrazione del segno di (ab) c'è scritto:

Data a<b e lo scambio (ab) studiando i vari casi si vede che il segno di (ab) è 2(b-a-1)+1 che è sempre dispari quindi il segno di (ab) è -1.

Ma quali sarebbero questi "casi"?

Grazie

Prova vedere se è chiaro
se la permutazione è (ab) (supponendo a, b)
vuol dire che la permutazione è
1 2 3 ... a-1 a a+1 ... b-1 b b+1 ... n
1 2 3 ... a-1 b a+1 ... b-1 a b+1 .... n

Dobbiamo contare quanti sono gli elementi che sono più grandi di uno successivo

nella tabella sopra, fino ad a-1 non ci sono elementi più grandi né di b né di a

Poi c'è b, che è più grande di a ma anche di a+1 ... b-1, e sono b-a valori
poi ci sono tutti gli elementi a+1 ... b-1 che sono tra loro in ordine, ma sono più grandi di a, e questi sono
b-a-1, in totale quindi
b-a+b-a-1=2(b-a)+1 che è dispari

L'esmpio in S₉ dove scambio 3 e 7, e dove indico con l'* i posti dove c'è uno scambio d'ordine
( 3 7 ) in S₉
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 7 4 5 6 3 8 9
7:~~ * * * *
4: ~~~~~*
5: ~~~~~*
6: ~~~~~*

( 2 5 ) in S₉
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 5 3 4 2 6 7 8 9
5:~ * * *
3:~~~~*
4: ~~~~*

@simon perché tu ottiene 2(b-a)+1 e non 2(b-a-1)+1?

Poi non mi trovo perché b-a+b-a-1 diventa 2(b-a)+1?

Grazie

Ho scritto male io:
b-a+b-a-1=2(b-a)-1 ,non +1,
Che è il suo
2(b-a-1)+1
Chiedo scusa, infatti se guardi l'esempio (3 7), allora

1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 7 4 5 6 3 8 9

Bisogna considerare tutte le coppie e vedere quali non sono "in ordine"
1 e 2 sono < delle succesive
7 è fuori ordine con 4,5,6, 3 (4 casi)
4 è fuori ordine solo con 3 (1 caso)
5 idem (1 caso)
6 idem (1 caso)
3, 8, 9 sono in ordine:
Quindi in totale 7 casi che è 2(7-3)-1