Segno di particolari espressioni irrazionali

L'espressione:

√(x^2 - 5·x + 4)/(x^2 - 36)^(1/3)

è definita se risultano soddisfatte le due condizioni:

{x^2 - 36 ≠ 0

{x^2 - 5·x + 4 ≥ 0

Quindi se:

{x ≠ -6 ∧ x ≠ 6

{x ≤ 1 ∨ x ≥ 4

ed in definitiva se: [x ≠ -6 ∧ x ≤ 1, x ≠ 6 ∧ x ≥ 4]

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Il numeratore se esiste è sempre NON negativo :

x^2 - 5·x + 4 ≥ 0---> x ≤ 1 ∨ x ≥ 4

annullandosi per x = 4 ∨ x = 1

Il denominatore non si deve annullare ed il segno negativo o nullo del rapporto, valendo le condizioni di sopra, dipende dalla negatività stretta del denominatore:

x^2 - 36 < 0-------> -6 < x < 6

Quindi si devono verificare le condizioni:

{x ≤ 1 ∨ x ≥ 4

{-6 < x < 6

Risolvendo il sistema si ottiene:

[-6 < x ≤ 1, 4 ≤ x < 6]

 

Quasi mai sono d'accordo coi libri di testo scritti dopo il 1980.
Quasi sempre sono d'accordo con gli altri responsori abituali di ∫σ∫MΔTΣMΔTICΔ (specie con LucianoP di cui sono complementare: lui privilegia i grafici, io le espressioni algebriche; il richiedente che ottenga risposta da entrambi noi ha il massimo dell'informazione.).
Questa volta no, non sono d'accordo con la lettura restrittiva dovuta @LucianoP: il quesito "a" dice solo definita e non definita reale; e il quesito "b" dice definita e negativa o nulla.
Ora, pur se "definita e negativa" implica "definita reale" (ma anche, a rigore, "definita immaginaria") in quanto i valori complessi non hanno segno non essendo confrontabili, invece "definita e nulla" implica solo "non indefinita".
Credo che, per evidenziare le eventuali differenze fra la lettura restrittiva e quella letterale, sia opportuno ragionare a partire dai fatti di base.
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L'espressione 157, funzione della variabile reale x,
157) f(x) = y = √(x^2 - 5*x + 4)/∛(x^2 - 36)
è una frazione: definita ovunque lo siano numeratore e denominatore; indefinita dove il denominatore è zero.
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Il denominatore è una radice cubica: definita ovunque lo sia il radicando.
Il radicando del denominatore è un polinomio in x, p(x): definito ovunque.
Quindi f(x) è indefinita per x = ± 6 (zeri del denominatore) oppure là dove lo sia il numeratore.
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Il numeratore è una radice quadrata: definita ovunque lo sia il radicando, ma non ovunque a valore reale.
Il radicando del numeratore è un polinomio in x, q(x): definito ovunque.
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Quindi l'analisi di f(x) dipende da quella di
* q(x) = x^2 - 5*x + 4 = (x - 1)*(x - 4) = (x - 5/2)^2 - (3/2)^2
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Distinzione di casi
A) x < - 6: p(x) > 0; q(x) > 0; f(x) > 0
B) x = - 6: p(x) = 0; q(x) > 0; f(x) indefinita
C) - 6 < x < 1: p(x) < 0; q(x) > 0; f(x) < 0
D) x = 1: p(x) < 0; q(x) = 0; f(x) = 0
E) 1 < x < 4: p(x) < 0; q(x) < 0; f(x) immaginaria (> 0)
F) x = 4: p(x) < 0; q(x) = 0; f(x) = 0
G) 4 < x < 6: p(x) < 0; q(x) > 0; f(x) < 0
H) x = 6: p(x) = 0; q(x) > 0; f(x) indefinita
K) x > 6: p(x) > 0; q(x) > 0; f(x) > 0
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Risposte ai quesiti
a1) definita: x ∉ {- 6, 6}
a2) definita reale: x ∉ {- 6, 6, (1, 4)}
b1) definita e negativa: x ∈ {(- 6, 1), (4, 6)}
b2) definita e nulla: x ∈ {1, 4}
b) definita e negativa o nulla: x ∈ {(- 6, 1], [4, 6)}