[Risolto] Segno delle Derivate

$f(x) = \frac{e^{x}-2}{x}$

Derivata di un rapporto:

$f'(x) = \frac{e^x*x-(e^x-2)*(1)}{x^2} = \frac{xe^x - e^x +2}{x^2} = \frac{e^x(x-1)+2}{x^2}$

Quando studiamo il segno, il denominatore è sempre positivo. Il numeratore:

$ e^x(x-1) +2 \geq 0$

non si può studiare analiticamente, solo graficamente come:

$ e^x \geq \frac{-2}{x-1}$

dove $y=e^x$ è la funzione in rosso, $y=\frac{-2}{x-1}$ quella nera. 

Graficamente vediamo che l'esponenziale è "sopra" l'iperbole per $x>1$, cioè solo dopo l'asintoto.

Quindi la funzione sarà crescente per $x>1$.

La derivata seconda si fa in maniera simile, ma esce ancora più complicata da studiare.

A meno che non esplicitamente richiesto, eviterei di farlo in questo caso.

Noemi