[Risolto] Scrivi l'equazione della circonferenza tangente nel suo punto T di ascissa -2

@ginoginetto

Ciao

Coordinate di T

2·x - 3·y + 22 = 0

2·(-2) - 3·y + 22 = 0-----> y = 6

T [-2, 6]

Determino la perpendicolare alla retta per T

3·x + 2·y + c = 0  (condizioni di perpendicolarità aa'+bb'=0 soddisfatte)

3·(-2) + 2·6 + c = 0----> c = -6

Metto a sistema la retta così trovata con quella assegnata e determino le coordinate di C:

{3·x + 2·y - 6 = 0

{y = x + 3

risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 3]

Il raggio della circonferenza si ottiene:

r^2 = (0 + 2)^2 + (3 - 6)^2-----> r^2 = 13

Quindi circonferenza: x^2 + (y - 3)^2 = 13

che si può anche scrivere: x^2 + y^2 - 6·y - 4 = 0

L'ellisse cercata è del tipo:

x^2/a^2 + y^2/9 = 1

(b^2=9 perché un vertice dell'ellisse passa per C)

a^2 > 9 perché l'ellisse ha fuochi su y=0

Determino i fuochi:

{x^2 + y^2 - 6·y - 4 = 0

{y = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 0, x = -2 ∧ y = 0]

Quindi c^2=4

a^2 = b^2 + c^2------>a^2 = 9 + 4 = 13

Quindi:

x^2/13 + y^2/9 = 1

 

 

"C appartenente alla ... y=x+3" ≡ C(k, k + 3)
"la retta t di equazione 2 x-3 y+22=0" ≡ t ≡ y = (2/3)*(x + 11), con pendenza m = 2/3
"punto T di ascissa -2" ≡ T(- 2, 6)
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Il centro C dev'essere sulla retta per T di pendenza m' = - 1/m = - 3/2
* y = 6 - (3/2)*(x + 2) ≡ y = 3 - (3/2)*x → C(k, 3 - (3/2)*k)
quindi
* C(k, k + 3) = C(k, 3 - (3/2)*k) ≡ k + 3 = 3 - (3/2)*k ≡ k = 0
da cui
* C(0, 3)
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La distanza di C da T è
* |CT| = √13
quindi la circonferenza Γ richiesta è
* Γ ≡ x^2 + (y - 3)^2 = (√13)^2
e, per y = 0, interseca l'asse x in F1(- 2, 0) oppure F2(2, 0) in quanto
* x^2 + (0 - 3)^2 = (√13)^2 ≡ x = ± 2
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L'ellisse richiesta, con i fuochi sull'asse x simmetrici rispetto l'origine, ha la forma
* (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con semiassi a > b > 0 e semidistanza focale
* c = √(a^2 - b^2) = 2
perché F(± c, 0).
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La condizione di passare per C impone il vincolo
* (0/a)^2 + (3/b)^2 = 1
quindi il sistema
* (√(a^2 - b^2) = 2) & ((0/a)^2 + (3/b)^2 = 1) & (a > b > 0) ≡
≡ (a = √13) & (b = 3)
determina
* Γ ≡ (x/√13)^2 + (y/3)^2 = 1