[Risolto] Scrivi le equazioni delle circonferenze rappresentate nelle figure tenendo conto che la retta e tangente alla circonferenza.

y = 2 - 2·x----> 2·x + y - 2 = 0 retta tangente in [1, 0] alla circonferenza:

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

Tale circonferenza passa per i punti: [1, 0] e [5, 0] quindi:

{1^2 + 0^2 + a·1 + b·0 + c = 0

{5^2 + 0^2 + a·5 + b·0 + c = 0

Quindi:

{a + c = -1

{5·a + c = -25

Risolvendo: [a = -6 ∧ c = 5]

x^2 + y^2 - 6·x + b·y + 5 = 0

Per le formule di sdoppiamento in [1,0]:

1·x + 0·y - 6·(x + 1)/2 + b·(y + 0)/2 + 5 = 0

- 2·x + b·y/2 + 2 = 0

2·x - b·y/2 - 2 = 0

per confronto con: 2·x + y - 2 = 0 deve essere:- b/2 = 1, cioè b = -2

x^2 + y^2 - 6·x - 2·y + 5 = 0

L'altro esercizio puoi risolverlo analogamente.

La retta passa per (-1,0) e per (1, -1)

per cui m = -1/2

y - 0 = -1/2(x + 1)

y = -1/2 x - 1/2

Inoltre c = 0 ( la circonferenza passa per l'origine )

x^2 + y^2 + ax + by = 0 con

1 + 1 + a - b = 0

a = b - 2

perché passa anche per (1, -1)

Resta ora da imporre che sia tangente

x^2 + y^2 + (b - 2) x + by = 0

x^2 + 1/4 (1 + x)^2 + (b - 2)x - b/2 (x + 1) = 0

deve avere D = 0

4x^2 + x^2 + 2x + 1 + 4bx - 8x - 2bx - 2b = 0

5x^2 + 2bx - 6x - (2b - 1) = 0

5x^2 + 2(b - 3)x - (2b - 1) = 0

b^2 - 6 b + 9 + 10b - 5 = 0

b^2 + 4 b + 4 = 0

(b + 2)^2 = 0

b = -2, a = -2 - 2 = -4

x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0

Essendo io un po' fissato col precetto del Regolamento "UN SOLO ESERCIZIO PER DOMANDA" non svolgerò nessuno dei due che hai pubblicato in questa domanda, tanto di svolgimenti nei hai già avuti parecchi.
Invece ti offrirò una spiegazione della logica che sta dietro a questi esercizi: se t'annoia, lascia perdere.
Esercizio
C'è una retta t non parallela a un asse coordinato che quindi ha sì una pendenza, ma non nulla.
* t ≡ y = m*x + q, con m != 0
C'è sulla retta t un punto T(u, m*u + q) in cui t tange una circonferenza Γ da determinare in base al vincolo d'appartenenza del punto P(w, h).
Si chiede di determinare l'equazione di Γ.
Procedura risolutiva
Il centro C di Γ dev'essere sulla retta p perpendicolare a t per T, e il suo raggio è la distanza |CT|; la posizione di C si determina dal vincolo d'appartenenza di P.
Quindi la procedura consta dei seguenti passi.
1) Determinare p: p ≡ y = m*u + q - (x - u)/m
2) Scrivere C come cursore di p: C(k, m*u + q - (k - u)/m)
3) Determinare la distanza |CT|, raggio di Γ: |CT| = r = √((m^2 + 1)*(k - u)^2/m^2)
4) Scrivere il fascio Γ(k) delle circonferenze centrate su p:
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (m*u + q - (k - u)/m))^2 = (m^2 + 1)*(k - u)^2/m^2
5) Scrivere e risolvere in k il vincolo d'appartenenza di P(w, h), calcolando la radice K:
* (w - k)^2 + (h - (m*u + q - (k - u)/m))^2 = (m^2 + 1)*(k - u)^2/m^2 ≡
≡ K = (h^2 + q*(q - 2*h) - (m*w)^2 - (m^2 + 1) (h - m*u - q)^2)/(2*m*(h - m*w - q))
6) Determinare Γ come Γ(K), ma solo quando K è un valore. Non con questa mostruosa espressione letterale!