[Risolto] Scrivere i primi termini di una successione espressa mediante espressione analitica.

Hai capito bene "che il risultato cambia a seconda dell'esponente pari o dispari".
Il fattore "(- 1)^n" si scrive come primo fattore dell'espressione del termine generico di ogni successione che debba avere termini adiacenti di segno opposto.
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Il motivo dell'alternanza sta in due proprietà delle potenze:
1) il prodotto fra potenze della stessa base è anch'esso una potenza della stessa base che per esponente ha la somma degli esponenti delle potenze fattori;
2) la potenza di una potenza è anch'essa una potenza della stessa base che per esponente ha il prodotto dei due esponenti.
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Se l'indice n è pari lo si può scrivere come il doppio della sua metà
* n = 2*k
da cui
* (- 1)^n = (- 1)^(2*k) = ((- 1)^2)^k = 1^k = 1
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Se l'indice n è dispari lo si può scrivere come il successore di un pari
* n = 2*k + 1
da cui
* (- 1)^n = (- 1)^(2*k + 1) = ((- 1)^(2*k))*(- 1)^1 = 1*(- 1) = - 1
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NON hai invece capito bene "che significasse -1 * -1, -2 * -2" perché la base di tutti i termini della successione è sempre "(- 1)": al variare dell'indice dei termini ciò che varia è soltanto l'esponente; i termini adiacenti hanno i valori "+ 1" e "- 1".
Il primo termine è
* a(0) = + 1
i successivi valgono tutti "± 1", ma a segni alterni.