Proprietà delle potenze

Le proprietà delle potenze sono proprietà che legano le potenze alle operazioni algebriche permettendo di semplificare i calcoli in molte occasioni.

Di seguito riportiamo una tabella con tutte le principali proprietà delle potenze.


a) Prodotto di potenze con la stessa base: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
b) Quoziente di potenze con la stessa base: $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
c) Potenza di potenza: $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m}$
d) Prodotto di potenze con lo stesso esponente: $a^{n} \cdot b^{n}=(a \cdot b)^{n}$
e) Quoziente di potenze con lo stesso esponente: $\quad \frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}$

Prodotto di potenze con la stessa base

a) II prodotto di due potenze aventi la stessa base è una potenza avente come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.


$$
a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}
$$


Cosa succede se abbiamo un prodotto di più di due potenze aventi la stessa base? Applicheremo questa regola a tutte le potenze nella moltiplicazione ad esempio:


$$
a^{m} \cdot a^{n} \cdot a^{p} \cdot a^{q} \cdot a^{r} \cdot a^{s}=a^{m+n+p+q+r+s}
$$


Di seguito qualche esempio numerico:


$4^{2} \cdot 4^{3}=4^{2+3}=4^{5}$
$5^{5} \cdot 5^{3}=5^{5+3}=5^{8}$
$\pi^{2} \cdot \pi^{9}=\pi^{2+9}=\pi^{11}$
$6^{2} \cdot 6^{3} \cdot 6^{6}=6^{2+3+6}=6^{11}$

Quoziente di potenze con la stessa base

b) II quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza avente come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.

$$
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
$$


Alcuni esempi numerici:


$\frac{2^{2}}{2^{3}}=2^{2-3}=2^{-1}=\frac{1}{2}$
$\frac{3^{5}}{3^{3}}=3^{5-3}=3^{2}$
$\frac{\pi^{2}}{\pi^{9}}=\pi^{2-9}=\pi^{-7}$

Potenza di potenza

c) La potenza di una potenza è ancora una volta una potenza avente come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti
$$
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}
$$
La potenza di potenza non è altro che l’elevamento a potenza di una potenza. In simboli è semplice da capire: $\left(a^{m}\right)^{n}$.

Qualche esempio:


$\left(2^{2}\right)^{3}=2^{2 \cdot 3}=2^{6}$
$\left(3^{3}\right)^{3}=3^{3 \cdot 3}=3^{9}$
$\left(5^{9}\right)^{5}=5^{9-5}=5^{45}$

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

d) II prodotto di potenze con esponenti uguali è una potenza che come base ha il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente.
$$
a^{n} \cdot b^{n}=(a \cdot b)^{n}
$$
Questa proprietà si estende anche nel caso di prodotto di più di due potenze con basi diverse, ma esponenti uguali:


$$a^{n} \cdot b^{n} \cdot c^{n} \cdot d^{n} \cdot e^{n}=(a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e)^{n}$$


Qualche esempio numerico:


$2^{3} \cdot 3^{3}=(2 \cdot 3)^{3}=6^{3}$
$5^{7} \cdot 12^{7}=60^{7}$
$3^{-1} \cdot 2^{-1} \cdot 5^{-1}=(3 \cdot 2 \cdot 5)^{-1}=30^{-1}=\frac{1}{30}$

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

e) II quoziente di potenze con esponenti uguali è una potenza che come base ha il quoziente delle basi e come esponente lo stesso esponente.


$$
\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}
$$


Numericamente:


$\frac{2^{3}}{3^{3}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{3}$
$\frac{5^{5}}{7^{5}}=\left(\frac{5}{7}\right)^{5}$
$\frac{63^{3}}{61^{3}}=\left(\frac{63}{61}\right)^{3}$


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