[Risolto] Scomposizioni

CHI O CHE COSA CHIAMI "ruffini"? Il Prof. Paolo si chiamava "Ruffini".
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Le scomposizioni richieste sono queste qui
a) "14x+7x^2+x^3+8" = (x + 4)*(x + 2)*(x + 1)
b) "3t^3-4t^2-5t+2" = 3*(t + 1)*(t - 1/3)*(t - 2)
c) "X^3+3x^2-6x-8" = (x + 4)*(x + 1)*(x - 2)
d) "Y^3-5y^2-4y+20" = (y + 2)*(y - 2)*(y - 5)
se t'interessa anche capire come fare per ottenerle basta che continui a leggere.
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Teorema di Ruffini: se di un polinomio p(x) si sa che p(r) = 0 allora p(x) è multiplo del binomio "x - r".
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A) Le cose da fare preliminarmente sono:
A1) scrittura ordinata (ordine decrescente di potenza, variabili in minuscolo, operatori espliciti, buona leggibilità, ...);
A2) estrazione dell'unico fattore di grado zero, se esiste.
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a) 14*x + 7*x^2 + x^3 + 8 = x^3 + 7*x^2 + 14*x + 8
b) 3*t^3 - 4*t^2 - 5*t + 2 = 3*(t^3 - (4/3)*t^2 - (5/3)*t + 2/3)
c) x^3 + 3*x^2 - 6*x - 8
d) y^3 - 5*y^2 - 4*y + 20
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B) Per scomporre un polinomio monico (ottenuto dall'applicazione di A2) a coefficienti razionali con termine noto "n/d" si inizia dal cercare eventuali zeri razionali (i valori "r" del Teorema di Ruffini) nell'insieme C(n/d) dei candidati che, per il Teorema delle Radici Razionali, sono tutti e soli i rapporti fra un divisore intero di "n" [Di(n)] e un divisore naturale di "d" [Dn(d)].
* C(n/d) = {{Di(n)}/{Dn(d)}}
Ovviamente, se d = 1, bastano molto meno tentativi perché
* C(n/d) = Di(n)
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a, c) C(8/1) = Di(8) = {- 8, - 4, - 2, - 1, 1, 2, 4, 8}
b1) Di(2) = {- 2, - 1, 1, 2}
b2) Dn(3) = {1, 3}
b3) C(2/3) = {- 2, - 1, - 2/3, - 1/3, 1/3, 2/3, 1, 2}
d) C(20/1) = Di(20) = {- 20, - 10, - 5, - 4, - 2, - 1, 1, 2, 4, 5, 10, 20}
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C) Per valutare un polinomio di grado N con sole N - 1 moltiplicazioni (come con la Regola di Ruffini) si devono trasformare le potenze in moltiplicazioni nidificate.
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a) x^3 + 7*x^2 + 14*x + 8 = x*(x*(x + 7) + 14) + 8
b) t^3 - (4/3)*t^2 - (5/3)*t + 2/3 = t*(t*(t - 4/3) - 5/3) + 2/3
NB: se questo è zero, lo è anche il suo triplo.
c) x^3 + 3*x^2 - 6*x - 8 = x*(x*(x + 3) - 6) - 8
d) y^3 - 5*y^2 - 4*y + 20 = y*(y*(y - 5) - 4) + 20
Tutt'e quattro i polinomio sono di grado tre; per ciascuna valutazione servono due moltiplicazioni e tre addizioni.
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Per valutare tutti i polinomi su tutti i valori "r" candidati (8a, 8b, 12c, 8d; 44 in tutto) servono 88 moltiplicazioni e 132 addizioni.
Il povero Prof. Paolo Ruffini, nel 1807, se le doveva fare con carta e penna (perciò inventò la Regola, per farne il meno possibile!); oggi, nel 2020, c'è fior di software che calcola di tutto: sarebbe sciocco non imparare a usarlo.
Te ne mostro un esempio, per la scomposizione del polinomio "d)", da cui si identificano tutt'e tre gli zeri razionali {- 2, + 2, + 5}
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%7By%2Cy*%28y*%28y-5%29-4%29%2B20%7D%2C%7By%2C%7B-20%2C-10%2C-5%2C-4%2C-2%2C-1%2C1%2C2%2C4%2C5%2C10%2C20%7D%7D%5D
per gli altri tre vedi tu (puoi usare questo comando come falsariga).

Ciao!

Ti ho svolto il primo con la regola di Ruffini spiegando un po’ il metodo...in maniera analoga svolgi gli altri