[Risolto] Scomposizioni

25x^2 + 49y^2 - 35xy;

mi è venuto in mente!

Somma di cubi!

a^3 + b^3 = (a + b) * (a^2 - ab + b^2);

a^2 - ab + b^2 = (a^3 + b^3) / (a + b);

a^2 = 25x^2;  a = 5x;

b^2 = 49y^2;  b = 7 y;

ab = (5x) * (7y)

Quindi:

25x^2 + 49y^2 - 35xy = [(5x)^3 + (7y)^3] / (5x + 7y).

25 - 15b + 9b^2 =  5^2 - 3 * 5 * b + (3b)^2;

5^3 + (3b)^3 = (5 + 3b) * (25 - 15b + 9b^2);

25 - 15b + 9b^2 = [5^3 + (3b)^3] / (5 + 3b).

ciao. @albert 

@albert  ciao

I trinomi suddetti si chiamano falsi quadrati e si trovano scomponendo la somma di due cubi:

125·x^3 + 343·y^3= (5·x + 7·y)·(25·x^2 - 35·x·y + 49·y^2)

125 + 27·b^3= (3·b + 5)·(9·b^2 - 15·b + 25)

Tali falsi quadrati non sono scomponibili!

Non si possono scomporre perché sono del tipo M^2 - MN + N^2

I quattro possibili polinomi "z" della forma
* z = ± (x^2 ± x*y + y^2)
non si scompongono nel prodotto di due binomi reali perché rappresentano paraboloidi ellittici con vertice nell'origine che pertanto non hanno altre intersezioni col piano Oxy oltre la tangenza.
Si scompongono nel prodotto di due binomi complessi con la solita procedura di fattorizzazione per il trinomio quadratico monico: completamento del quadrato, scrittura del termine noto come opposto di un quadrato, prodotto notevole somma per differenza.
Ad esempio, rispetto ad x,
* x^2 - x*y + y^2 =
= (x - y/2)^2 + (3/4)*y^2 =
= (x - y/2)^2 - (- (√3)*y/2)^2 =
= (x - y/2 + i*(√3)*y/2)*(x - y/2 - i*(√3)*y/2) =
= (x - (1 + i*√3)*y/2)*(x - (1 - i*√3)*y/2)
ma anche, rispetto ad y,
* x^2 - x*y + y^2 =
= (y - (1 + i*√3)*x/2)*(y - (1 - i*√3)*x/2)
VERIFICA nel paragrafo "Expanded forms" ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28x-%281%2Bi*%E2%88%9A3%29*y%2F2%29*%28x-%281-i*%E2%88%9A3%29*y%2F2%29
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify+%28x-%281%2Bi*%E2%88%9A3%29*y%2F2%29*%28x-%281-i*%E2%88%9A3%29*y%2F2%29%3D%28y-%281%2Bi*%E2%88%9A3%29*x%2F2%29*%28y-%281-i*%E2%88%9A3%29*x%2F2%29

non leggo di traverso
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/99968/
http://www.sosmatematica.it/regolamento/