[Risolto] Scomposizioni

a^3 + 5a^2- 14a - 5a^2 - 25a + 70 

a(a^2+ 5a - 14) - 5(a^2+ 5a - 14) 

(a-5)(a^2+5a-14)

(a-5)(a+7)(a-2)

=a³ + 5a² - 14a - 5a² - 25a + 70 =

=a(a² + 5a - 14) - 5(a² + 5a - 14) =

=(a-5)(a+7)(a-2)

Oppure puoi cercare le radici di P(a) = 0 tra i divisori del termine noto... 5; - 7; 2  sono possibili radici

Mi duole dover esprimere @EidosM @Osvaldo @StefanoPescetto il mio totale disaccordo (e chi se n'impippa non ce lo metti? Sì, vabbe'! Io scrivo lo stesso.) per il modo in cui sono state presentate le loro risposte @Mario4 il quale è palesemente (come del resto i suoi compagni di compiti @Albert @anto_2023 @francesco3 che da qualche giorno ci tempestano di polinomi mal trascritti) un completo principiante e in quanto tale a mio parere ha bisogno di procedure concisamente spiegate e applicabili pedissequamente allo scopo di sviluppare proprio quelle capacità di riconoscere configurazioni e applicare i relativi trucchetti algebrici che le risposte di Osvaldo e Stefano invece presuppongono abbia già acquisito; l'obiezione alla risposta di EidosM è invece aver limitato la sua tavola di valutazione ai divisori naturali del termine noto invece che ai divisori, come da formule di Viète.
Adesso sparo la mia "risposta per principianti" e criticatela voi.
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Per scomporre ogni polinomio monico con termine noto razionale (qui intero), come
* p(a) = a^3 - 39*a + 70
s'inizia dalla ricerca degli eventuali zeri razionali che, se ci sono, consentono di calare il grado del polinomio da scomporre.
Infatti, se p(r) = 0, si può scrivere p(a) = (a - r)*(a^3 - 39*a + 70)/(a - r) con la certezza che la divisione (a^3 - 39*a + 70)/(a - r) non produca resto.
Si dimostra che, se ci sono zeri razionali, essi sono tutti fra i divisori del termine noto; qui i divisori di "+ 70" sono i sedici interi
* D = {d} = {± 1, ± 2, ± 5, ± 7, ± 10, ± 14, ± 35, ± 70}
e, se un p(d) = 0, p(a) ha il fattore (a - d).
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Per le valutazioni p(d) conviene scrivere il polinomio nella Forma di Horner
* p(a) = (a*a - 39)*a + 70
che si valuta con lo stesso minimo numero di moltiplicazioni della Regola di Ruffini; ma anche, con carta e penna, usare la Regola stessa che dà come resto la valutazione e come sottoprodotto i coefficienti del quoto eventualmente utile.
Seguono le valutazioni {d, p(d)}, allargandosi attorno allo zero,
* {d, p(d)} ∈ {{- 1, 108}, {1, 32}, {- 2, 140}, {2, 0}, {- 5, 140}, {5, 0}, {- 7, 0}, ...}
e basta così perché con tre zeri razionali la scomposizione del polinomio di grado tre è completa
* p(a) = a^3 - 39*a + 70 = (a*a - 39)*a + 70 = (a + 7)*(a - 5)*(a - 2)

1 2 5 7 10 14 35 70

(a-2)(a-5)(a+7)