Scomposizione in polinomi

x^4 - x^3 - 6·x^2 + 4·x + 8

Devi vedere i divisori del termine noto ed adoperare il teorema di Ruffini.

Riconosco che:

per x = -1 si ha:

(-1)^4 - (-1)^3 - 6·(-1)^2 + 4·(-1) + 8= 0

quindi eseguo la divisione (ad esempio con Ruffini):

(x^4 - x^3 - 6·x^2 + 4·x + 8)/(x + 1) =

=x^3 - 2·x^2 - 4·x + 8

(divisione esatta)

Procedo ancora con Ruffini

x^3 - 2·x^2 - 4·x + 8

vedo che è divisibile per (x+2):

(-2)^3 - 2·(-2)^2 - 4·(-2) + 8 = 0

quindi effettuo la divisione:

(x^3 - 2·x^2 - 4·x + 8)/(x + 2) = x^2 - 4·x + 4

Infine riconosco che: 

x^2 - 4·x + 4 = (x - 2)^2

Quindi deduco che il polinomio dato è scomponibile come:

(x + 1)·(x + 2)·(x - 2)^2

x^4 - x^3 - 6 x^2 + 4 x + 8.

Troviamo dei valori di x che annullano il polinomio.

x = 2 ?

2^4 - 2^3 - 6 * 2^2 + 4 * 2 + 8 = 

16 - 8 - 24 + 8 + 8 = 24 - 24 = 0;

Allora il polinomio è divisibile per (x - 2);

x = 1 ?

1 - 1 - 6 + 4 + 8 = 6 no!  (non è divisibile per x - 1).

x = - 1 ?

(- 1)^4 - (- 1)^3 - 6 * (- 1)^2 + 4 * (-1) + 8 =

+ 1 + 1 - 6 - 4 + 8 = 0; sì, è divisibile per (x + 1);

Dividiamo con la regola di  Ruffini:

(x^4 - x^3 - 6 x^2 + 4 x + 8) : (x - 2) = x^3 + x^2 - 4x - 4;

(x^3 + x^2 - 4x - 4) : (x + 1) = x^2 + 0x - 4;

x^2 - 4 = (x + 2) (x - 2); differenza di quadrati;

x^4 - x^3 - 6 x^2 + 4 x + 8 = (x - 2) (x + 1) (x + 2) (x - 2) =

 = (x - 2)^2 (x + 1) (x + 2).

Ciao  @imbriani_elisabetta