[Risolto] Salve a tutti ho bisogno di aiuto con derivate

La funzione
* f(x) = y = (x + 1)*e^(x/(x - 1))
espressa come prodotto, è di quelle per cui conviene abbozzare uno studio grafico prima dell'esame analitico.
Il grafico di y = f(x) è, ascissa per ascissa, il prodotto fra quelli dei suoi fattori.
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* r ≡ y = x + 1
retta parallela alla bisettrice dei quadranti dispari.
* per x < - 1: il fattore x + 1 < 0 ribalta rispetto l'asse x il grafico degli altri.
* per x = - 1: il fattore x + 1 = 0 azzera il grafico degli altri.
* per x > - 1: il fattore x + 1 > 0 si limita ad amplificare il grafico degli altri.
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* Γ ≡ y = e^(x/(x - 1))
esponenziale a valori positivi e andamento che dipende dal segno dell'esponente.
* per x < 0: x/(x - 1) > 0; Γ ha valori positivi e crescenti.
* per x = 0: x/(x - 1) = 0; Γ ha valore uno.
* per 0 < x < 1: x/(x - 1) < 0; Γ ha valori positivi e decrescenti.
* per x = 1: x/(x - 1) è indefinita; Γ di conseguenza.
* per x > 1: x/(x - 1) > 0; Γ ha valori positivi e crescenti.
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Pertanto il prodotto dovrebbe dare la seguente distinzione di casi in cui, stante il prodotto, nulla può dirsi sulla de/crescenza (S.E.&O.).
* per x < - 1: f(x) ha valori negativi.
* per x = - 1: f(x) ha valore zero.
* per - 1 < x < 0: f(x) ha valori positivi.
* per x = 0: f(x) ha valore uno.
* per 0 < x < 1: f(x) ha valori positivi.
* per x = 1: f(x), indefinita, ha un asintoto verticale.
* per x > 1: f(x) ha valori positivi.
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ESAME ANALITICO
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La funzione
* f(x) = y = (x + 1)*e^(x/(x - 1))
è definita reale per x ∈ R\{1}, ha un solo zero in x = - 1, ha intercetta f(0) = 1.
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Limiti d'interesse
lim_(x → - ∞) f(x) = -∞
lim_(x → 1-) f(x) = 0
lim_(x → 1+) f(x) = ∞
lim_(x → + ∞) f(x) = ∞
il che rivela l'assenza di estremi assoluti
lim_(x → - ∞) f(x)/x = e
lim_(x → + ∞) f(x)/x = e
lim_(x → - ∞) f(x) - e*x = 2*e
lim_(x → + ∞) f(x) - e*x = 2*e
il che rivela un asintoto obliquo bilatero
* y = e*(x + 2)
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Estremi relativi
* f'(x) = (x*(x - 3)/(x - 1)^2)*e^(x/(x - 1))
* f''(x) = ((5*x - 3)/(x - 1)^4)*e^(x/(x - 1))
* minimi relativi ≡ (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0) ≡
≡ (x*(x - 3)/(x - 1)^2 = 0) & (((5*x - 3)/(x - 1)^4)*e^(x/(x - 1)) > 0) ≡
≡ (x = 0) & ((3/5 < x < 1) oppure (x > 1)) oppure (x = 3) & ((3/5 < x < 1) oppure (x > 1)) ≡
≡ (x = 0) & (3/5 < x < 1) oppure (x = 0) & (x > 1) oppure (x = 3) & (3/5 < x < 1) oppure (x = 3) & (x > 1) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (x = 3) ≡
≡ x = 3
* massimi relativi ≡ (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) ≡
≡ (x*(x - 3)/(x - 1)^2 = 0) & (((5*x - 3)/(x - 1)^4)*e^(x/(x - 1)) < 0) ≡
≡ ((x = 0) oppure (x = 3)) & (x < 3/5) ≡
≡ (x = 0) & (x < 3/5) oppure (x = 3) & (x < 3/5) ≡
≡ (x = 0) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ x = 0