[Risolto] Salve a tutti chiedo aiuto con derivate

$f(x)= \sqrt[3]{x^2} \cdot e^x$

Calcoliamo la derivata attraverso la regola del prodotto:

$f'(x) = \frac{2x}{3\sqrt[3]{x^4}} e^x + \sqrt[3]{x^2} \cdot e^x$

mettendo in evidenza l'esponenziale e portando fuori dal segno di radice al denominatore abbiamo:

$f'(x) = (\frac{2x}{3x\sqrt[3]{x}} + \sqrt[3]{x^2}) e^x = (\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} + \sqrt[3]{x^2}) e^x$

Facciamo un mcm:

$f'(x)=(\frac{2+3x}{3\sqrt[3]{x}}) e^x$

Studiamo il segno della derivata, guardando i singoli fattori:

$ e^x > 0 \rightarrow \forall x \in R$

$ 2+3x > 0 \rightarrow x > \frac{-2}{3}$

$3\sqrt[3]{x} > 0 \rightarrow x>0$

Dunque dallo studio dei segni otteniamo:

__-2/3__0__

++++++++++

----++++++++

----------+++++

La funzione è dunque crescente per x<-2/3 o x>0

 

Noemi

DOVRESTI METTERTI D'ACCORDO FRA TE E TE STESSA: vale la foto del manoscritto o il dattiloscritto?
Il segno è un po' differente, nei due casi.
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D[∛(x^2) · e^x] = x · (3 · x + 2) · e^x/(3 · |x|^(4/3))
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3Dx%C2%B7%283%C2%B7x%2B2%29%C2%B7e%5Ex%2F%283%C2%B7%7Cx%7C%5E%284%2F3%29%29%5Dx%3D-9to9&assumption=%22%5E%22+-%3E+%22Real%22
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D[∛(x^2e^x)] = xe^x(x+2)/(3∛((x^2e^x)^2))
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3Dxe%5Ex%28x%2B2%29%2F%283%E2%88%9B%28%28x%5E2e%5Ex%29%5E2%29%29%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-9to9