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[Risolto] Risolvi la seguente equazione goniometrica linerare.

  

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5 3(sotto radice) cos x-5 sin x=0

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5·√3·COS(x) - 5·SIN(x) = 0

senza togliere nulla al problema chiamiamo con diverso modo l'incognita x:

5·√3·COS(α) - 5·SIN(α) = 0

Poniamo ora:

{COS(α) = X

{SIN(α) = Y

Facciamo quindi riferimento alla circonferenza goniometrica e risolviamo il sistema:

{5·√3·X - 5·Y = 0

{X^2 + Y^2 = 1

che ha una spiegazione geometrica:

image

Procediamo analiticamente a risolvere il sistema:

Y = √3·X----->X^2 + (√3·X)^2 = 1-----> 4·X^2 = 1------> X = - 1/2 ∨ X = 1/2

Y = √3·(- 1/2)------>Y = - √3/2

Y = √3·(1/2)-------> Y = √3/2

Quindi:

{COS(α) = - 1/2

{SIN(α) = - √3/2---------> α = 4·pi/3

poi

{COS(α) = 1/2

{SIN(α) = √3/2--------->α = pi/3

che possono anche scriversi come: α = pi/3 + k·pi



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5*√3*cos x - 5*sen x = 0

si semplifica per 5

√3*cos x = sen x

sen x / cos x = tan x = √3

x = arctan √3 = 60° = π/3+kπ

 



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Ciao!

Iniziamo a trasportare l'espressione a secondo membro e cambiare il segno:

$-5\sin x=-5\sqrt{3} \cos x$

Dividere entrambi i membri dell'equazione per $\cos x$ e si ottiene:

$-5\tan x=-5\sqrt{3} $

quindi

$\tan x =\sqrt{3} $

allora l'inversa trigonometrica della funzione è :

$x=arctan \sqrt{3}$

quindi: $x=\frac{\pi}{3}$

Essendo la tangente una funzione periodica di periodo $k\pi$, la soluzione finale è:

$x=\frac{\pi}{3} +k\pi$ 



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SOS Matematica

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