[Risolto] Risoluzione triangolo generico noti due lati e la tangente di un angolo non compreso

Nel triangolo ABC i lati AB e BC sono lunghi rispettivamente 50 cm e 80 cm. La tangente dell'angolo  α è -4/3. Determina perimetro 2p ed area A 

 

tan α = -4/3

α = arctan -4/3 = -53,13°

sen -53,13° = -0,80

Si applica il teorema dei seni 

-0,80/80 = sen γ/50

sen γ = -0,80*50/80 = -0,50 

γ = -30°

angolo β = -180+(53,13+30) = -96,87°

sen β = -0,9928

-0,80/80 = -0,9928/AC

AC = 99,28 cm 

Verifica applicando il teorema di F. Viete (aka del coseno)

detto x il lato incognito AC "audemus dicere" :

tan α = -4/3

α = arctan -4/3 = -53,13°

cos -53,13° = 0,60

80^2 = 50^2+x^2-2*50*cos α

80^2 = 2500+x^2-100*0,60*x

x^2-60x-3900 = 0 

x = (60+√60^2+15.600)/2 = 99,28 cm  = AC

 

perimetro 2p = 50+80+99,28 = 229,28 cm 

semiperimetro p = 229,28/2 = 114,64

...dando retta ad Erone :

area A = √p*(p-a)(p-b)(p-c)

A = √114,64*(114,64-50)*(114,64-80)*(114,64-99,28) = 1985,65 cm^2

 

 

Due soluzioni corrette al link:

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/trigonometria-33/#post-57583

 

La miglior risposta 🤔è completamente errata! 

Gli angoli interni di un poligono convesso devono avere ampiezze positive.
* sin(arctg(- 4/3)) = - 4/5
* cos(arctg(- 4/3)) = + 3/5
quindi
* α = π + arctg(- 4/3) = π - arctg(4/3) ~= 126° 52' 12''
* sin(α) = + 4/5
* cos(α) = - 3/5
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Misure in cm, cm^2. Approssimazioni al mm, mm^2.
Nel triangolo ABC si hanno lunghezze (a, b, c) e ampiezze (α, β, γ) come segue.
* a = |BC| = 80; b = |AC| = incognita; c = |AB| = 50
* α = BAC = vedi sopra; β = incognita; γ = incognita
Avendo tre elementi fra cui almeno una lunghezza, il triangolo si può risolvere.
Per potere, come da consegna, calcolare perimetro p e area S basta determinare b, compreso fra differenza e somma di a e c.
* 30 < b < 130
* p = a + b + c = 130 + b
* S = √((a + b + c)*(- a + b + c)*(a - b + c)*(a + b - c))/4 =
= √((16900 - b^2)*(b^2 - 900))/4
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* (α + β + γ = π) & (a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)) ≡
≡ (β = π - (α + γ)) & (100 = b/sin(π - (α + γ)) = 50/sin(γ)) ≡
≡ (100 = 50/sin(γ)) & (100 = b/sin(π - (arcsin(4/5) + γ))) & (β = π - (α + γ)) ≡
≡ (γ = π/6) & (100 = b/sin(π - (arcsin(4/5) + π/6))) & (β = π - (arcsin(4/5) + π/6)) ≡
≡ (100 = b/sin(5*π/6 - arcsin(4/5))) & (β = 5*π/6 - arcsin(4/5)) & (γ = π/6) ≡
≡ (100 = b/((3 + 4*√3)/10)) & (β = 5*π/6 - arcsin(4/5)) & (γ = π/6) ≡
≡ (b = 10*(3 + 4*√3)) & (β = 5*π/6 - arcsin(4/5)) & (γ = π/6) ≡
da cui
* b^2 = 300*(19 + 8*√3)
* p = 130 + b = 40*(4 + √3) ~= 229.282 ~= 229.3 cm
* S = √((16900 - b^2)*(b^2 - 900))/4 =
= √((16900 - 300*(19 + 8*√3))*(300*(19 + 8*√3) - 900))/4 ~= 1985.6406 ~= 1985.64 cm^2