Rette tg. e flessi

Dopo i calcoli preliminari, determiniamo i punti di flesso e di seguito l'equazione della retta tangente nel punto di flesso,

a. Preliminari

• $  y(x) = \frac{x}{x^2+3} $
  • • Dominio = ℝ
• $  y'(x) = \frac{3-x^2}{(x^2+3)^2} $
• y"$(x) = \frac{2x(x^2-9)}{(x^2+3)^3} $

b. Flessi

• Segno derivata seconda
  • • y"(x) = 0    in x = 0  e in x = ±3

_____-3________0________+3_____

--------------------0++++++++++++    2x

++++0--------------------------0++++   (x^2-9)

-------0++++++0-------------0++++     y"(x)

....∩...≠....∪.......≠.......∩......≠....∪...     y(x)

Legenda

∪  intervallo di convessità

∩   intervallo di concavità

≠   punto di flesso

Flessi per x = 0 e per x= ± 3  (derivata seconda nulla accompagnata da un cambio di concavità)

c. Rette tangenti passante per i punti di ascissa x = 0  e per x = ± 3

• formula retta tangente $y = y(x_0) + y'(x_0)(x-x_0) $
  • per x₀ = 0.     $y = y(0) + y'(0)x  \; \implies \; y = \frac{1}{3}x $
  • per x₀ = -3.     $y = y(-3) + y'(-3)(x+3)  \; \implies \; y = -\frac{1}{24}x -\frac{3}{8}$
  • per x₀ = +3.     $y = y(3) + y'(3)(x-3)  \; \implies \; y = -\frac{1}{24}x +\frac{3}{8}$