[Risolto] Rette tangenti a una circonferenza

@Beppe 

Ciao Beppe,

credo che il testo del problema non sia scritto in modo corretto.

Per due punti passa una sola retta e per i punti P, A passa la retta (formula retta per 2 punti)

 x + 3y + 6 = 0

Questa è la retta tangente alla circonferenza in P (punto che appartiene sia alla circonferenza sia alla retta trovata) e passante per A(0, - 2)

L'altra retta che il libro mette come risultato non è tangente alla circonferenza nel P ma passa come richiesto per il punto A(0,2)

Possiamo determinare l'equazione della seconda retta, trovando il fascio di rette passanti per A e Imponendo che la distanza centro della circonferenza - fascio di rette sia uguale al raggio. 

La retta 3x - y - 2 = 0 è tangente alla circonferenza nel punto C=(1, 1). Posso trovare il punto di tangenza come intersezione tra la tangente e la retta ad essa perpendicolare, passante per il centro della circonferenza. 

{y = 3x-2

{y - 2 = ( - 1/3) * (x+2)  - - > y = (-1/3)*x + 4/3

Da cui si ricava 

x=1, y=1

Mi limito al problema, ripulendone un po' il testo, perché i commenti non l'ho capiti (specialmente "I risultati sono 3" che, per un problema di secondo grado, è un bel record!).
Per la nomenclatura e i suoi significati ti scrivo un'apposita appendice in fondo.
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Si chiede di trovare, se esistono, le rette per P(0, - 2) tangenti la circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 4*x - 4*y - 2 = 0
e di verificare che uno dei punti di tangenza sia T(- 3, - 1).
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Dall'equazione di Γ si ricava per sdoppiamento l'equazione della retta polare p del polo P(0, - 2) rispetto alla conica Γ.
* p ≡ 0*x - 2*y + 4*(0 + x)/2 - 4*(- 2 + y)/2 - 2 = 0 ≡
≡ y = (x + 1)/2
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Il sistema
* p & Γ ≡ (y = (x + 1)/2) & (x^2 + y^2 + 4*x - 4*y - 2 = 0) ≡
≡ T(- 3, - 1) oppure T'(1, 1)
localizza i punti di tangenza e soddisfà al seconto quesito.
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Le congiungenti
* PT ≡ y = - (x + 6)/3
* PT' ≡ y = 3*x - 2
ortogonali fra loro (m = - 1/3; m' = + 3) sono le tangenti richieste.
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2--y%5E2--4*x-4*y-2%3D0%2C%28x-2*y%2B1%29*%283*x-y-2%29*%28x--3*y%2B6%29%3D0%5D
e il solo grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2--y%5E2--4*x-4*y-2%3D0%2C%28x-2*y%2B1%29*%283*x-y-2%29*%28x--3*y%2B6%29%3D0%5Dx%3D-6to2%2Cy%3D-3to6
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PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla cònica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
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Se il punto P è interno alla cònica Γ, p(Γ, P), esterna a Γ, non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla cònica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla cònica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.