Rette e parabole

ESERCIZIO 1)

I punti appartenenti alle due coniche date hanno coordinate:

P=(k; k² - k)

P'=(k; 2k² - 4k)

 

Le rette tangenti le coniche nel generico punto (x, y) hanno coefficiente angolare:

m= 2x - 1

m'= 4x - 4

 

Imponendo la condizione richiesta (parallelismo tra due rette => stesso coefficiente angolare) si ricava:

2k - 1= 4k - 4

k= 3/2

 

Sostituendo il valore di k nelle coordinate dei punti P, P1 si ricavano i valori delle ordinate.

 

ESERCIZIO 2)

Se consideriamo parabole con asse di simmetria verticale :

Dalle radici dell'equazione di secondo grado associata x1=1 ; x2=3 si ricava:

 

y= a(x-1)(x-3)

 

Imponendo la condizione di appartenenza del punto A (0,3) alla conica, si determina il valore del parametro a.

3= 3a

a=1

 

La parabola ha quindi equazione:

 

y= x² - 4x + 3

 

Essendo P un punto della parabola, le coordinate sono:

P(x ; x² - 4x + 3)

 

Determino l'area del triangolo di base AB e altezza PH (H piede della perpendicolare condotta dal vertice P sulla base)

 

AB= radice (10)

Eq retta AB: 3x+y-3 =0

 

Distanza di P dalla retta AB:

h= |3x + (x² - 4x + 3) - 3| / radice (10)

 

Quindi:

h= |x² - x|/ radice (10)

 

Area= (1/2)*AB * h = (1/2)*|x² - x|

 

ESERCIZIO 3)

L'intersezione della conica data con la retta fornisce le ascisse dei punti di intersezione

xA=0

xB= - 1/a

 

Imponendo la condizione richiesta si ricava:

(1/6)*(1/a²) = 6

a = ± (1/6)