Rette

{y = -x + 2

{y = m·x

Risolvo ed ottengo: [x = 2/(m + 1) ∧ y = 2·m/(m + 1)]

{y = -x + 2

{y = - 1/m·x

Risolvo ed ottengo: [x = 2·m/(m - 1) ∧ y = 2/(1 - m)]

[2/(m + 1), 2·m/(m + 1)]

[2·m/(m - 1), 2/(1 - m)]

Vertici del triangolo rettangolo sulla retta data.

Misura dei cateti:

√((2/(m + 1))^2 + (2·m/(m + 1))^2) = 2·√(m^2 + 1)/ABS(m + 1)

√((2·m/(m - 1))^2 + (2/(1 - m))^2) = 2·√(m^2 + 1)/ABS(m - 1)

Area triangolo:

1/2·2·√(m^2 + 1)/ABS(m + 1)·(2·√(m^2 + 1)/ABS(m - 1)) = 10/3

2·(m^2 + 1)/ABS((m + 1)·(m - 1)) = 10/3

6·(m^2 + 1) = 10·ABS((m + 1)·(m - 1))

(6·(m^2 + 1) = 10·ABS((m + 1)·(m - 1)))^2

36·m^4 + 72·m^2 + 36 = 100·m^4 - 200·m^2 + 100

64·m^4 - 272·m^2 + 64 = 0

4·m^4 - 17·m^2 + 4 = 0

equazione biquadratica. Soluzione:

m = - 1/2 ∨ m = 1/2 ∨ m = -2 ∨ m = 2

Indichiamo con A, B le intersezioni delle rette ortogonali con la retta y = -x+2.

Oss. Il triangolo AOB è rettangolo in O, per ipotesi.

Per il calcolo dell'area S determiniamo dapprima le coordinate dei punti A, B per poi calcolare la loro distanza dall'origine, in altre parole le lunghezze dei cateti.

.

a. Cateto AO.

Risolviamo il sistema composto dalla retta y = -x+2 e la generica retta passante per l'origine di coefficiente angolare m

$\left\{\begin{aligned} y &= -x+2 \\ y &= mx \end{aligned} \right. $

La cui soluzione è $A(\frac{2}{m+1}, \frac{2m}{m+1})$

La distanza dall'origine sarà

$d_{AO} = \frac {2}{m+1} \sqrt{1+m^2}$

.

b.

Cateto BO.

Risolviamo il sistema composto dalla retta y = -x+2 e la generica retta passante per l'origine di coefficiente angolare m

$\left\{\begin{aligned} y &= -x+2 \\ y &= mx \end{aligned} \right. $

La cui soluzione è $A(\frac{2}{m+1}, \frac{2m}{m+1})$

La distanza dall'origine sarà

$d_{AO} = \frac {2}{m+1} \sqrt{1+m^2}$

.

b. Cateto BO.

Risolviamo il sistema composto dalla retta y = -x+2 e la generica retta passante per l'origine ortogonale alla precedente, cioè con coefficiente angolare m' = -\frac{1}{m}.

$\left\{\begin{aligned} y &= -x+2 \\ y &= -\frac{x}{m} \end{aligned} \right. $

La cui soluzione è $B(\frac{2m}{m-1}, \frac{-2}{m-1})$

La distanza dall'origine sarà

$d_{BO} = \frac {2}{m-1} \sqrt{1+m^2}$

.

c.  Passiamo al calcolo dell'area S.

$ S = \frac {d_{AO} \cdot d_{BO}}{2} = \frac {10}{3} $

$ 4m^2 = 16$

$ m = \pm 2$    

I risultati vengono diversi, occorre trovare gli errori. E' un tuo privilegio trovarli.

Ti riporto un disegno che potrebbe esserti utile per la verifica.