Buonasera a tutti!
vi propongo tale esercizio:
Data la circonferenza x^2+y^2-8y-9=0, considerare un punto P sulla crf, nel primo quadrante, e siano H la sua proiezione sull’asse y e K la proiezione sull’asse x. Determinare le coordinate di P in modo che il rettangolo PHOK abbia perimetro 8.
potreste farmi vedere lo svolgimento?
io ho calcolato il centro ed il raggio e disegnato la circonferenza.
C(0;4) ed r=5
ora però non saprei come procedere. Grazie mille a chi mi vorrà aiutare!
28
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Livello 0
x^2 + y^2 - 8·y - 9 = 0
Giustamente come hai detto, si riconosce il centro C(0,4) ed il raggio:
r = √(0^2 + 4^2 + 9) = 5
equazione che possiamo scrivere anche: x^2 + (y - 4)^2 = 25
Il punto P deve essere tale per cui risultino soddisfatte le condizioni:
{x > 0
{y > 0
Se risolviamo l'equazione della circonferenza rispetto ad x otteniamo:
x = √(- y^2 + 8·y + 9) ( la negativa ed opposta la scartiamo)
- y^2 + 8·y + 9 > 0
Quindi vanno bene le soluzioni: -1 < y < 9
Quindi dobbiamo ricercarle fra: 0 < y < 9
(come fra l'altro suggerisce il grafico su riportato)
Si impone quindi la condizione richiesta dal testo:
2·(√(- y^2 + 8·y + 9) + y) = 8
che risolta fornisce: y = 4 - 5·√2/2 ( circa: y = 0.464)
Per tale valore si ha:
x = √(- (4 - 5·√2/2)^2 + 8·(4 - 5·√2/2) + 9)
x = 5·√2/2
Quindi il punto P ha coordinate:
[5·√2/2, 4 - 5·√2/2]
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Genius II
@lucianop ok, grazie mille!
Ho finito di rispondere ora. Dacci un'occhiata.
@lucianop perfetto!!! 🤩 tutto molto chiaro!! Grazie infinite!!!
Di nulla. Buona notte.
Il rettangolo di cui esprimere il perimetro NON E' AFFATTO INSCRITTO!
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La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 8*y - 9 = 0
di cui il centro C(0, 4) e il raggio r = 5 non riguardano direttamente l'esercizio, ha nel primo quadrante il punto cursore definito dalla seguente distinzione di casi
* (0 <= y < 4) & (3 <= x < 5) & P(x, 4 - √(25 - x^2))
* (y = 4) & (x = 5) & P(5, 4)
* (4 < y <= 9) & (0 <= x <= 9) & P(x, 4 + √(25 - x^2))
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Il perimetro p del rettangolo PHOK è
* p = 2*(xP + yP)
che, eguagliato a otto, dà luogo a tre equazioni condizionate
* (0 <= y < 4) & (3 <= x < 5) & (2*(x + 4 - √(25 - x^2)) = 8) ≡ x = 5/√2
* (y = 4) & (x = 5) & (2*(5 + 4) = 8) ≡ impossibile
* (4 < y <= 9) & (0 <= x <= 9) & (2*(x + 4 + √(25 - x^2)) = 8) ≡ impossibile
da cui l'unica soluzione
* P(5/√2, 4 - 5/√2)
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Genius I
@exprof, grazie per la risposta! Chiedo scusa ma io dalle sue spiegazioni capisco sempre poco.
ok la correzione del rettangolo che non è iscritto.
ok che la y sarà tra 0 e 4 ed x tra 3 e 5.
ok che da x^2+(y-4)^2= 25 posso ricavare che y=4- rad(25-x^2).
però continuo a non capire come occorre ragionare per risolvere il problema.
