RETTA TG ALLA CURVA CON INDICATO P.TO DI ASCISSA.

Sia

\[y = 20x - x^5 \mid \frac{dy}{dx} = 0 \implies 20 - 5x^4 = 0 \iff x = \pm \sqrt{2}\,.\]

Banalmente i punti di tangenza si calcolano imponendo il passaggio della curva per tali valori di ascissa:

\[y \:\Bigg|_{\substack{x = \sqrt{2}}} = 16\sqrt{2} \land y \:\Bigg|_{\substack{x = -\sqrt{2}}} = -16\sqrt{2}\,;\]

quindi

\[(-\sqrt{2}, -16\sqrt{2}) \qquad (\sqrt{2}, 16\sqrt{2})\,.\]

Il coefficiente angolare della retta tangente alla curva è la derivata prima della funzione che la rappresenta.

y = 20x - x^5;

dy/dx = 20 - 5 x^4;

vogliamo che la retta sia orizzontale, cioè parallela all'asse x; quindi il coefficiente angolare della tangente in quei punti della curva deve essere 0; (sono punti di massimo o di minimo o punti di flesso).

dy/dx= 0

20 - 5 x^4 = 0;

5x^4 = 20;

x^4 = 20/5;

x = +- radicequarta(4) = +- radicequarta(2^2);

x = +- radicequadrata(2);

la curva passa in questi punti di ascissa x1 = + radice(2); x2 = - radice(2)

y = 20x - x^5;

y1 = 20 * radice(2) - [radice(2)]^5;   raccogliamo una radice(2);

y1 = radice(2) * {20 - [radice(2)]^4}

y1 = radice(2) * [20 - 4] = 16 * radice(2);

x1; y1 = [ +radice(2); + 16 * radice(2)]

y2 = 20 * [- radice(2)] + [radice(2)]^5;   raccogliamo una radice(2);

y2 = radice(2) * {- 20 + [radice(2)]^4};

y2 = radice(2) * [- 20 + 4] = - 16 * radice(2);

x2; y2  =  [- radice(2); - 16 * radice(2)].

punti in cui la tangente è orizzontale.

@alby  ciao 

I punti del grafico di una funzione y = f(x) in cui la tangente è orizzontale, cioè a pendenza zero, o sono estremi relativi o sono flessi; le loro ascisse sono gli zeri reali della derivata prima f'(x) e le ordinate i corrispondenti valori di f(x).
Se f(x), come in questo caso, è un polinomio di grado dispari a coefficienti reali (f(x) = y = 20*x - x^5) allora f'(x) = 0 ha un numero pari di radici che si presentano in coppie coniugate: quindi quelle reali di
* f'(x) = 20 - 5*x^4 = 0 ≡ x^4 = 4
sono zero, due o quattro.
Si ha
* x^4 = 4 ≡ u^2 = 4 ≡ u = ± 2 ≡
≡ (x^2 = - 2) oppure (x^2 = 2) ≡
≡ (x = ± i*√2) oppure (x = ± √2)
cioè due radici reali e due immaginarie; a quelle reali corrispondono le ordinate
* f(- √2) = y = - 16*√2
* f(+ √2) = y = + 16*√2