Retta tangente alla circonferenza passante per il punto P

Question

Salve, vorrei un parere se questo esercizio che ho svolto, se corretto e se ci sono anche altri metodi per risolverlo. Avendo la circonferenza di equazione x^2+y^2-2x+4y-1=0 devo trovare le rette tangenti passanti per il punto P di coordinate (-3,2).

So che se il punto appartiene alla circonferenza la retta tangente sarà solo una, se il punto è interno alla circonferenza non ci sarà nessuna retta tangente mentre se il punto è esterno alla circonferenza le rette tangenti sono 2. Per trovare la retta tangente ho deciso di trovare l'equazione della retta passante per il punto P e perpendicolare alla retta CP dove C è il centro della circonferenza. Mi sono calcolato il coefficiente angolare della retta CP e ho trovato come risultato -1 e facendo l' antireciproco ho trovato m=1 e poi ho sfruttato l'equazione del fascio di rette passanti per il punto P e dopo vari calcoli ho trovato y=x+5. È corretto il procedimento e il risultato? Grazie in anticipo

Autore

Risposta

Riccardo18

(@riccardo18)

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29/06/2021 21:05

LucianoP · Accepted Answer

@riccardo18

Non devi procedere a caso. Il punto è esterno alla circonferenza e non le appartiene quindi. Hai sbagliato alla grande! Tu hai fatto quanto è dato nella figura seguente.

Domani vediamo il da farsi. Buonanotte.

Riprendo, buongiorno!

Tu, non solo hai trovato le due rette tangenti per P alla circonferenza (il punto P è esterno), hai trovato invece la retta per P esterna, quella più lontana dalla circonferenza.

Procedimento classico:

{x^2 + y^2 - 2·x + 4·y - 1 = 0

{y - 2 = m·(x + 3)

Risolvo per sostituzione:

y = m·x + 3·m + 2

x^2 + (m·x + 3·m + 2)^2 - 2·x + 4·(m·x + 3·m + 2) - 1 = 0

x^2·(m^2 + 1) + 2·x·(3·m^2 + 4·m - 1) + (9·m^2 + 24·m + 11) = 0

Condizione di tangenza:

Δ/4 = 0

(3·m^2 + 4·m - 1)^2 - (m^2 + 1)·(9·m^2 + 24·m + 11) = 0

(9·m^4 + 24·m^3 + 10·m^2 - 8·m + 1) - (9·m^4 + 24·m^3 + 20·m^2 + 24·m + 11) = 0

- 10·m^2 - 32·m - 10 = 0

5·m^2 + 16·m + 5 = 0

m = - (√39 + 8)/5 ∨ m = (√39 - 8)/5

Quindi le rette tangenti:

y = (- (√39 + 8)/5)·x + 3·(- (√39 + 8)/5) + 2

y = - x·(√39/5 + 8/5) - 3·√39/5 - 14/5

analogamente l'altra:

y = x·(√39/5 - 8/5) + 3·√39/5 - 14/5

LucianoP

(@lucianop)

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30/06/2021 00:57

[Risolto] Retta tangente alla circonferenza passante per il punto P

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