Retta tangente

Le due curve date sono fra loro tangenti nel punto xo= 0 se hanno la stessa retta tangente in tale punto.

Calcolo coordinate di P

y = √(0 + 1)----> y = 1----> P [0,1]

Calcolo retta tangente in xo

1/(2·√(x + 1))----> y'=1/(2·√(0 + 1)) = 1/2

y - 1 = 1/2·(x - 0)---> y = x/2 + 1

Determino la cubica:

y = x^3 + a·x + b

passa da P

1 = 0^3 + a·0 + b----> 1 = b----> b = 1

y'= 3·x^2 + a per x = 0 si ha: 3·0^2 + a = 1/2

a = 1/2

y = x^3 + 1/2·x + 1

y = radicequadrata(x + 1); 

y(x) = (x + 1)^(1/2) ;   (1)

y(x) = x^3 + ax + b;  (2)    (tangenti in xo= 0);

le due curve avranno la stessa retta tangente, nel punto di tangenza;

punto di tangenza ricavato dalla (1);

y = radice(0 + 1) = 1;

P (0; 1);

troviamo il coefficiente angolare della retta tangente alla (1); è la sua derivata prima;

1) y'(x) = 1/2 * (x + 1)^(-1/2);

y'(x) = 1 / [2 * radice(x + 1)],

y'(0) = 1/2; coefficiente angolare della retta tangente in x = 0;

retta y = (1/2) x + q;

deve passare in P(0;1);

1 = 1/2 * 0 + q; 

q = 1;

retta tangente : y = 1/2 x + 1.

2)  y(x) = x^3 + ax + b;  (2)

deve passare in P(0;1);

1 = 0^3 + a * 0 + b;

1 = b;

 b = 1;  valore di b;

derivata prima:

y'(x)= 3x^2 + a;  in  xo = 0, il coefficiente angolare deve essere y' = 1/2;

3 * 0^2 + a = 1/2;     ricaviamo a;

a = 1/2;

y = x^3 + (1/2) x + 1.

Le due curve (radice quadrata e cubica)  hanno la stessa tangente in P (0;1), quindi sono tangenti tra loro.

ciao @alby

y = √(x + 1)

y = x^3 + (1/2) x + 1;