Retta tangente

Due curve nel piano sono tangenti fra loro se hanno la medesima retta tangente.

y = e^(x - 2)----> y' = e^(x - 2)

y = LN(e·x - e) che possiamo anche scrivere come:

y = LN(x - 1) + 1----> y' = 1/(x - 1)

Un punto sulle due curve ha come coordinate:

[α, e^(α - 2)] con riferimento alla prima

[α, LN(e·α - e)] con riferimento alla seconda

retta tangente alla prima:

y - e^(α - 2) = e^(α - 2)·(x - α)

y = e^(α - 2)·(x - α + 1)

y = x·e^(α - 2) + e^(α - 2)·(1 - α)

retta tangente alla seconda:

y - LN(e·α - e) = 1/(α - 1)·(x - α)

y = LN(α - 1) + (x - 1)/(α - 1)

y = LN(α - 1) + x/(α - 1) - 1/(α - 1)

Quindi si devono verificare due condizioni:

{1/(α - 1) = e^(α - 2)  (cioè stesso coefficiente angolare m)

{LN(α - 1) - 1/(α - 1) = e^(α - 2)·(1 - α) (stessa ordinata all'origine q)

Si deduce dalla prima che per α = 2 viene verificata:

1/(2 - 1) = e^(2 - 2)----> 1 = 1

per la seconda:

LN(2 - 1) - 1/(2 - 1) = e^(2 - 2)·(1 - 2)-----> -1 = -1 OK!!!

la retta tangente è: y = LN(2 - 1) + (x - 1)/(2 - 1)

y = x - 1

Il punto di tangenza è:

[2,1]

(1 = e^(2 - 2))