Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Prima di procedere trasformiamo $y^2=4ax$ in una funzione di $x$, quindi estraiamo la radice quadrata e consideriamo solo il ramo positivo della parabola, quindi definiamo $f(x)=2\sqrt{ax}$, deriviamo ottenendo $f'(x)=\frac{a}{\sqrt{ax}}$ che è coefficiente angolare $m$. L'equazione della retta tangente ad una curva in un punto di ascissa $x_0$ è $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$, quindi:
$y-2\sqrt{ax_0}=m(x-x_0)$
Notiamo che $-2\sqrt{ax_0}=\frac{2a}{m}$ da cui $x_0=\frac{a}{m^2}$ allora sostituiamo:
$y-\frac{2a}{m}=m(x-\frac{a}{m^2})$
$y-\frac{2a}{m}=mx-\frac{a}{m}$
$y=mx+\frac{2a}{m}-\frac{a}{m}$
$y=mx+\frac{a}{m}$
Se consideriamo il ramo negativo allora abbiamo $m=-\frac{a}{\sqrt{ax}}$
$y+2\sqrt{ax_0}=m(x-x_0)$
quindi notiamo che $2\sqrt{ax_0}=-\frac{2a}{m}$ e $x_0=\frac{a}{m^2}$
$y-\frac{2a}{m}=mx-\frac{a}{m}$
$y=mx+\frac{2a}{m}-\frac{a}{m}$
$y=mx+\frac{a}{m}$
Come volevasi dimostrare, la forma coincide.
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Livello 3