RETTA TANGENTE

Problema:

È data la parabola di equazione $y=(a-1)x^2-x+b$.

a. Trova per quali valori di $a$ e $b$ passa per il punto $A(0,3)$ e ha la tangente nel suo punto di ascissa $x=1$ parallela all'asse $x$.

b. Calcola in quale punto della parabola trovata la tangente è inclinata di $225^\circ$ rispetto all'asse $x$.

Soluzione:

a. Il primo punto è un classico, bisogna ricavare due equazioni dato che i parametri da individuare sono una coppia.

Per la prima condizione si impone il passaggio della curva per $A(0,3)$: $3=(a-1)0²-0+b \implies b=3$. La seconda condizione invece necessita la derivata della curva:

$y'=2(a-1)x-1$

Il fatto che la retta tangente alla curva in $x=1$ sia parallela all'asse $x$ si traduce nel fatto che essa ha pendenza nulla e dunque derivata nulla.

$y'(1)=0 \implies 2a-2-1=0 \implies a=\frac{3}{2}$

L'equazione della curva è dunque:

$y=\frac{3}{2}x²-x+3$

b. Per risolvere il secondo punto è necessario essere a conoscenza del fatto che il valore della pendenza è esprimibile tramite il valore della tangente di un angolo noto. Nel caso in questione si ha che $m=\tan (225^\circ)=\tan(180^\circ+45^\circ)=\tan 45^\circ=1$. Ciò implica che è necessario trovare il valore di $x$ tale che $y'(x)=1$.

$y'(x)=3x-1=1 \implies x=\frac{2}{3}$. Il punto richiesto è dunque $P(\frac{2}{3}, 3)$.

Lascio la revisione dei conti al lettore dato che i risultati non combaciano.