Del triangolo ABC sono noti il vertice B (4;5) e il punto medio M (1;1) del lato AC. Trova:
1) Il baricentro G del triangolo
2) Le coordinate del vertice A sapendo che si trova sull'asse y, con ordinata minore di 5, e che il lato AB misura 2√5
3) Le coordinate del vertice C
4) Il perimetro e l'area del triangolo
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Livello 0
Ciao. Il baricentro G del triangolo, si trova a 2/3 di BM a partire da B.
B [4, 5]
M [1, 1]
Passo alle coordinate parametriche:
{x = 4 + α·t
{y = 5 + β·t
Impongo che per t=1 si abbia M
{1 = 4 + α·1
{1 = 5 + β·1
Quindi: α = -3 e β = -4
{x = 4 - 3·t
{y = 5 - 4·t
G si trova per t=2/3
{x = 4 - 3·(2/3) = 2
{y = 5 - 4·(2/3) = 7/3
G(2,7/3)
Coordinate di A(0,y):
AB=√((4 - 0)^2 + (5 - y)^2) = 2·√5
√(y^2 - 10·y + 41) = 2·√5------> y^2 - 10·y + 41 = 20 (elevo al quadrato)
y^2 - 10·y + 21 = 0-----> (y - 3)·(y - 7) = 0------> y = 7 ∨ y = 3 <5
A(0,3)
Determino C(x,y)
M [1, 1]
{1 = (0 + x)/2
{1 = (3 + y)/2
quindi:
{x = 2
{y = -1
C(2,-1)
Per il resto....vedi tu!
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Genius II
MA=MC = RADICE (5)
Y_A= Y_M + RADICE (MA² - X_M²) =
1 + radice (5-1) =
= 1 + 2 = 3
Quindi A=(0, 3)
Calcolo le coordinate del pto C utilizzando la formula del punto medio di un segmento.
(X_A + X_C) /2 = X_M
(0 + X_C) /2 = 1 - - - > X_C = 2
(Y_A + Y_C) /2 = Y_M
(3 + Y_C) /2 = 1 - - - > Y_C = 2 - 3 = - 1
Quindi
C=(2, - 1)
I lati AB e AC risultato inoltre perpendicolari dal momento che i coefficienti angolari delle rispettive rette sono m=1/2 e m1=-2 (m*m1 = - 1)
Quindi il triangolo è rettangolo in A
Inoltre i cateti AB e AC sono congruenti di lunghezza
L=radice (4² + 2²) = radice (20) = 2* radice {5)
Il triangolo è quindi rettangolo isoscele e l'ipotenusa risulta
BC= AB * radice (2) = 2* radice (10)
Il baricentro risulta essere, essendo il triangolo rettangolo
X_g = (X_A + X_B + X_C) /3
X_g= (0 + 2 + 4) /3 = 2
Y_g = (Y_A + Y_B + Y_C) /3
Y_g = (3 + 5 - 1) /3 = 7/3
Quindi G=(2, 7/3)
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Genius II
