Relatà e modelli, punti stazionari

$ f(x) = -\frac{x^5}{5}+ax^4+bx^3+3x^2+c(x)+d $

deve avere un:

• minimo in (0,0) quindi passa da (0,0)
• massimo in (1, ?)
• minimo in (2, 0)
• massimo in (3, ??)

Imponiamo le condizioni

• Passa per O(0, 0) ⇒ f(0) = 0  ⇒ d = 0
• minimo in O(0, 0) 

derivata prima $ f'(x) = -x^4+4ax+3bx^2+6x+c $

Essendo O(0, 0) un punto stazionario avremo f'(0) = 0 ⇒ c = 0

La funzione f(x) si è così ridotta all'equazione $ f_1 (x) = -\frac{x^5}{5}+ax^4+bx^3+3x^2 $
la cui derivata risulta essere $ f_1'(x) = -x^4+4ax+3bx^2+6x = -x(x^3-4ax^2-3bx-6) $

dalla quale emerge che x = 0  è un punto stazionario (già sfruttato) gli altri x = 1; x = 2; x = 3 sono quelli elencati in precedenza, quindi si deve verificare l'uguaglianza

$ x^3-4ax^2+3bx+6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) $
$ x^3-4ax^2-3bx-6 = x^3-6x^2+11x-6 $  Applichiamo il principio di identità dei polinomi ricavando

1. $-4a= -6 \; ⇒ \; a = \frac{3}{2} $
2. $ -3b = 11  \; ⇒ \; b = -\frac{11}{3} $