[Risolto] Realtà e modelli

@Sami869

Determini dopo quanto tempo ripartiranno assieme calcolando il minimo comune multiplo tra 16, 30 e 45 minuti.

Per calcolare il minimo comune multiplo bisogna scomporre ciascuno dei numeri in fattori primi.

16 = 2⁴

30 = 5*3*2

45 = 5*3²

Il minimo comune multiplo risulta essere il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una sola volta con il massimo esponente con cui appaiono.

Quindi:

MCM(16,30,45) = 5*2⁴ * 3² = 5*16*9 = 720 minuti  = 12h

Ogni giorno, alle 8, partono dal capolinea contemporaneamente tre autobus: quello della linea A, quello della linea B quello della linea C. Succesivamente, fino alle ore 24, l'autobus della linea A parte ogni 45 minuti, quello della linea B ogni 30 minuti e quello della linea C ogni 16 minuti. Dopo quanto tempo t ripartirano, per la prima volta, tutti insieme?

mcm (45;30;16) 

45 = 3^2*5

30 = 2*3*5

16 = 2^4

mcm = 2^4*3^2*5 = 720 min = 720/60 = 12 h 

t = 12 h , orario del prossimo incontro : le 20 

Per un esercizietto sul minimo comune multiplo (mcm[lista di interi]) ci s'è inventato un testo ridicolo: lo "Spoiler" che dà un'orario mentre il quesito chiede la durata di un intervallo; e poi una situazione inventata in modo irrealistico.
Dalle otto a mezzanotte sono sedici ore, 960 minuti:
* 960 = 21*45 + 15 = 32*30 + 0 = 60*16 + 0
quindi per gli autisti delle linee A e B il servizio finisce alla 0:30, mentre quello della linea C (raccomandato!) smonta alle 0:16; se l'addetto ai turni non sta in campana gli arriva una grana sindacale che levati!
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Per il calcolo di
* mcm[45, 30, 16] minuti = 720 minuti = 12 ore
il metodo suggerito dai libri per scolari (fattori comuni e non comuni ...) è quello che, in base al Teorema Fondamentale, serve a DIMOSTRARE esistenza e unicità del mcm[] e che però è assolutamente controindicato per CALCOLARE (vale solo per numeri molto piccoli).
Ad esempio, con numeri moderatamente grandicelli, per calcolare con quel metodo
* mcm[102856878774354143, 176276066577834469]
si dovrebbero fare venti milioni di divisioni e ci vorrebbe un po' di tempo.
Invece il metodo di calcolo che s'insegna ai più piccoli dovrebb'essere il più efficiente possibile, basato sulle definizioni della divisione euclidea N/D e del mcm[a, b]
* (N = D*Q(N, D) + R(N, D)) & (0 <= R < |D|)
* mcm[a, b] = |a*b|/MCD[a, b]
e sull'algoritmo di Euclide per calcolare MCD[a, b] che è l'applicazione sistematica di poche proprietà del Massimo Comun Divisore
* MCD[a, 0] = a
* MCD[a, b] = MCD[b, a]
* MCD[a, b] = MCD[a, - b]
* MCD[a, b] = MCD[b, R(a, b)]
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ESEMPIO sui dati del caso
* mcm[45, 30, 16] = mcm[mcm[45, 30], 16] = mcm[|45*30|/MCD[45, 30], 16] =
= mcm[1350/15, 16] = mcm[90, 16] =
= 90*16/MCD[90, 16] = 1440/2 = 720
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DETTAGLI
* MCD[45, 30] = MCD[30, 15] = MCD[15, 0] = 15
* MCD[90, 16] = MCD[16, 10] = MCD[10, 6] = MCD[6, 4] = MCD[4, 2] = MCD[2, 0] = 2

@sami869 38:70