[Risolto] Razionalizzazione numeratore

HO UN PAIO DI OBIEZIONI PRELIMINARI, spero ti riescano utili.
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A) Il testo delle espressioni va scritto in modo formale, secondo una qualche sintassi standard riconosciuta universalmente. Sui libri le espressioni si stampano in due dimensioni, ma su una tastiera si scrivono in linea: le espressioni algebriche non sono disegnini e per scriverle in linea con un editor di testo ci sono convenzioni internazionali che risalgono al 1958.
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Tu qui oggi hai fatto due tentativi (falliti!) di disegnino:
A1) https://www.sosmatematica.it/forum/postid/46864/
che avresti potuto scrivere come "sqrt(x^3 - y^2)" o "√(x^3 - y^2)"
A2) https://www.sosmatematica.it/forum/postid/46865/
che avresti DOVUTO scrivere come "(1 + √2 - √3)/(2*√2)"
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B) "razionalizzazione" è assai più generale di ciò che chiedi: non ti serve l'eliminazione di ogni irrazionalità, ma solo quella dei radicali quadratici.
Il titolo "eliminazione delle radici quadrate" sarebbe stato più indicativo.
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PROCEDURA RISOLUTIVA
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Per eliminare le radici quadrate si applicano due proprietà.
* Moltiplicare e dividere un'espressione per la stessa quantità non nulla ne lascia invariato il valore, perché per quella stessa quantità non nulla si può scegliere un'opportuna espressione che faccia diminuire il numero di radici quadrate.
* Il prodotto notevole "differenza di quadrati", perché il quadrato di un radicale quadratico è il radicando e ciò fa diminuire il numero di radici quadrate.
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ESERCIZIO A1
* √(x^3 - y^2) =
= (√(x^3 - y^2))*√(x^3 - y^2)/√(x^3 - y^2) =
= (x^3 - y^2)/√(x^3 - y^2)
VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify+%E2%88%9A%28x%5E3-y%5E2%29%3D%28x%5E3-y%5E2%29%2F%E2%88%9A%28x%5E3-y%5E2%29
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ESERCIZIO A2
* (1 + √2 - √3)/(2*√2) =
= (1 + √2 - √3)*(1 + √2 + √3)/((2*√2)*(1 + √2 + √3)) =
= ((1 + √2)^2 - (√3)^2)/((2*√2)*1 + (2*√2)*√2 + (2*√2)*√3) =
= (1^2 + (√2)^2 + 2*√2 - 3)/(2*√2 + 2*2 + 2*√6) =
= (2*√2)/(2*√2 + 2*2 + 2*√6) =
= (2*√2)*√2/((√2)*(2*√2 + 2*2 + 2*√6)) =
= 2*2/((√2)*2*√2 + (√2)*2*2 + (√2)*2*√6) =
= 4/(4 + 4*√2 + 4*√3) =
= 1/(1 + √2 + √3)
VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify++%281%2B%E2%88%9A2-%E2%88%9A3%29%2F%282*%E2%88%9A2%29%3D1%2F%281%2B%E2%88%9A2%2B%E2%88%9A3%29

@Maurizio 

Razionalizzare il numeratore significa trasformare la frazione in una equivalente in cui al numeratore risultano eliminati tutti i radicali quadratici:

Qui è veloce!

(1 + √2 - √3)/(2·√2)

Moltiplichiamo per il fattore razionalizzante (indicato in grassetto) il numeratore:

(1 + √2 - √3)·(1 + √2 + √3) = 2·√2

Infatti:

(1 + √2 - √3)·(1 + √2 + √3)=

=1·(1 + √2 + √3) + √2·(1 + √2 + √3) - √3·(1 + √2 + √3)=

=(√3 + √2 + 1) + (√6 + √2 + 2) - (√6 + √3 + 3) = 2·√2

La stessa operazione la facciamo al denominatore e la frazione diviene:

2·√2/(2·√2·(1 + √2 + √3))----------> =1/(1 + √2 + √3)