[Risolto] Rapporto tra la lunghezza d’onda di de Broglie

Pedice $« f »=$ fotone; pedice $« \mathrm{e} »=$ elettrone.

Elettrone e fotone hanno la stessa energia:

$E_{\mathrm{f}}=E_{\mathrm{e}}=1,0 \mathrm{keV}=1,6 \times 10^{-16} \mathrm{~J}$

Le lunghezze d'onda di de Broglie relative al fotone e all'elettrone sono:

$\lambda_{\mathrm{f}}=\frac{h c}{E_{\mathrm{f}}}=\frac{\left(6,63 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\right)\left(3,00 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right)}{1,60 \times 10^{-16} \mathrm{~J}}=12,4 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

$\lambda_{\mathrm{e}}=\frac{h}{p_{\mathrm{e}}}=\frac{h}{m_{\mathrm{e}} \sqrt{\frac{2 E_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}}}}=\frac{h}{\sqrt{2 E_{\mathrm{e}} m_{\mathrm{e}}}}=\frac{6,63 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}}{\sqrt{2\left(1,60 \times 10^{-16} \mathrm{~J}\right)\left(9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}\right)}}=3,88 \times 10^{-11} \mathrm{~m}$

Il rapporto tra le lunghezze d'onda è:

$$\frac{\lambda_{\mathrm{f}}}{\lambda_{\mathrm{e}}}=\frac{12,4 \times 10^{-10} \mathrm{~m}}{3,88 \times 10^{-11} \mathrm{~m}}=32,0$$