Raffreddamento di un corpo/ 1. In base alla legge del raffreddamento di Newton, la velocità di raffreddamento di un oggetto è direttamente proporzionale alla differenza tra la temperatura $T_0$ (supposta costante) dell'ambiente in cui si trova l'oggetto e la temperatura dell'oggetto stesso. Ciò significa che, detta $y(t)$ la temperatura dell'oggetto all'istante $t$, la funzione $y(t)$ soddisfa l'equazione differenziale:
$$
y^{\prime}(t)=k\left[T_0-y(t)\right]
$$
essendo $k$ una costante positiva (detta costante di raffreddamento) che dipende dalle caratteristiche dell'oggetto.
a. Un oggetto prodotto industrialmente è posto a raffreddare in un ambiente la cui temperatura, che rimane costante, è $T_0=20^{\circ} \mathrm{C}$. Supponi che il tempo sia misurato in ore e che la costante di raffreddamento dell'oggetto sia $k=0,5$. Scrivi l'equazione differenziale che deve soddisfare la funzione $y(t)$ e determina il suo integrale generale.
Supponendo che la temperatura iniziale dell'oggetto sia di $220^{\circ} \mathrm{C}$, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.
b. Determina l'espressione analitica di $y(t)$.
c. Stabilisci qual è la temperatura dell'oggetto dopo 30 minuti.
d. Calcola il limite di $y(t)$ per $t \rightarrow+\infty$ e interpreta il risultato in relazione al problema.
e. Stabilisci dopo quanto tempo la temperatura dell'oggetto sarà diventata il $50 \%$ di quella iniziale. Esprimi il risultato sia in forma esatta, sia in modo approssimato, arrotondato ai minuti.
$$
\left[\text { a. } y^{\prime}=\frac{1}{2}(20-y) \text {; b. } y(t)=200 e^{-\frac{t}{2}}+20 \text {; c. circa } 175,8^{\circ} \text { C; d. } 20 \text {; e. } t=2 \ln \frac{20}{9} \text {, ovvero circa } 1 \text { ora e } 36 \text { minuti }\right]
$$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
