Buongiorno devo dimostrare, USANDO IL TEOREMA DI ROLLE, che: (scusate se è scritto in inglese)
Buongiorno devo dimostrare, USANDO IL TEOREMA DI ROLLE, che: (scusate se è scritto in inglese)
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Livello 2
Problema:
Tra ogni coppia di zeri della funzione $f(x)=e^x \sin x$, vi è almeno una radice reale di $g(x)=e^x\cos x$.
Soluzione:
Nota: ho sbagliato a copiare il testo, il procedimento è lo stesso anche se cambiano i vettori di traslazione (non è un problema perché una volta traslata una delle due di $\frac{π}{2}$ si ottiene la stessa funzione traslata verticalmente) e le funzioni ($f(x)=e^x \sin x-1$ e $g(x)=e^x \cos x +1$). Bisogna comunque lavorare sulle simmetrie per individuare un intervallo che contiene sicuramente una radice di una delle due funzioni per qualunque traslazione mediante interi; anche lì troverai che le radici si alternano. Lo correggo più tardi se non riesci a svolgerlo in autonomia, anche se a una prima occhiata su desmos il risultato non dovrebbe cambiare dato che si sta comunque lavorando su intervalli determinati mediante le derivate (le costanti sono trascurabili).
https://www.desmos.com/calculator/cv4zlgqnpo
Si può notare subito che $e^x \sin x=0=e^x \cos x$ solo quando $\sin x = \cos x =0$, quindi mai.
Gli zeri di $f(x)$ sono del tipo $x=\mathbb{Z}π$, mentre gli zeri di $g(x)$ sono del tipo $x=\frac{π}{2}+\mathbb{Z}π$. Inoltre, entrambe le funzioni sono derivabili perché regolari su tutto il continuo.
Conviene anche osservare che $f'(x)=e^x \sin x + e^x \cos x = f(x) + g(x)$.
Considerando gli intervalli del tipo $[aπ, bπ]$, con $a,b \in \mathbb{Z}$ tali che $b>a$, vale che $f(a)=f(b)=0$ dato che questi sono gli zeri di $f$.
Quindi, per Rolle, esiste necessariamente un punto ( del tipo $x=\frac{3π}{4}+\mathbb{Z}π$) nell'intervallo aperto tale che $f(x)+g(x)=0$, ossia un punto tale che $f(x)=-g(x)$.
Si osserva inoltre che gli intervalli del tipo $[aπ+\frac{π}{2}, bπ+\frac{π}{2}]$ sono intervalli di Rolle per $g$ e che a sua volta $g'(x)=g(x)-f(x)$. Quindi i punti in cui la derivata si annulla sono del tipo $x=\frac{π}{4}+\mathbb{Z}π$.
Si può notare che tali punti di estremo per le due funzioni distano tra loro di $\frac{π}{2}$.
Poiché le funzioni sono del tipo $h(x)k(x)$, con $k(x)$ funzione seno/coseno, si può dimostrare che ogni funzione seno/coseno può essere vista come la traslazione della funzione coseno/seno di $v=(\frac{π}{2}, 0)$. Si ha quindi che necessariamente, per costruzione, che in ogni intervallo del tipo $[\frac{π}{4}+a\frac{π}{2}, \frac{3π}{4}+a\frac{π}{2}]$, con $a \in \mathbb{Z}$, vi è in alternanza, uno zero di $f$ e uno zero di $g$. Se ne deduce quindi che tra due zeri di $f$ vi è uno zero di $g$ (e viceversa).
Finalmente un quesito carino!
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Livello 6
@rebc Grazie mille!! Bellissimo.
@rebc Scusa non saprei come risolvere l’esercizio seguendo la traccia originale, potresti darmi una mano? 😭
@fede-uwu la riscrivo qui modificando ciò che andava modificato nella mia risposta.
Problema:
Tra ogni coppia di due radici reali dell'equazione $e^x \sin x =1$, vi è almeno una radice reale di $e^x \cos x +1=0$.
Soluzione:
Si considerano $f(x)=e^x \sin x -1$ e $g(x)=e^x \cos x +1$, il problema trasla quindi dallo studio delle radici delle equazioni allo studio degli zeri delle funzioni.
Entrambe le funzioni sono derivabili perché regolari su tutto il continuo. Conviene anche osservare che $f'(x)=e^x \sin x + e^x \cos x = f(x) + g(x)$ (i punti in cui si annulla sono tali che $g(x)=-f(x) \neq 0$, ciò importante per giustificare le intuizioni geometriche) e che $g'(x)=e^x \cos x -e^x \sin x=g(x)-f(x)-2$.
Prendendo un qualsiasi intervallo compatto con estremi due zeri consecutivi della funzione $f$, ossia un intervallo $[a,b]$ con $a<b$. Si ha per Rolle che esiste un punto $c$ nell'aperto tale che $f'(c)=0$, ossia un punto che soddisfa l'equazione $e^c \sin c =-e^c \cos c \implies \sin c = -\cos c \implies c=\frac{3π}{4}+\mathbb{Z}π$.
Per la funzione $g$ in un intervallo $[l,m]$, con $l<m$ zeri consecutivi di $g$, si ha che esiste nell'aperto un punto $k$ tale che $g'(k)=e^k \cos k +1 - e^k \sin k +1 -2=0 \implies \cos k = \sin k$, ossia un punto del tipo $k=\frac{π}{4} + \mathbb{Z}π$.
Si può notare che tali punti di estremo per le due funzioni distano tra loro di $\frac{π}{2}$.
Inoltre, per costruzione, tra due zeri vi è un solo punto critico, per $f$ si hanno i vari $c_n$ e per $g$ i vari $k_n$.
Prendendo quindi la famiglia di intervalli $[c_n, k_{n'}]$ ove $c_n$ e $k_{n'}$ distano tra loro di $\frac{π}{2}$, si ha che una delle due funzioni, diciamo $f$, si muove in maniera monotona verso l'altro estremo dell'intervallo. Per costruzione si ottiene quindi che gli zeri di $f$ e di $g$ sono alternati tra loro.
Al momento non riesco a formalizzare questo "per costruzione" su due piedi, ci si dovrebbe riuscire analizzando le monotonie di entrambe le funzioni e utilizzando il teorema degli zeri sapendo che $g(c_n)\cdot g(k_{n'})$ dovrebbe essere sempre minore di $0$ per l'intuizione geometrica.
Analizzando alcuni casi (devi mostrare che quando $g(a)g(b)<0$ hai $f(a)f(b)>0$ e viceversa in generale).
$[\frac{π}{4}, \frac{3π}{4}] \implies g(\frac{π}{4})g(\frac{3π}{4})<0$
$[\frac{3π}{4}, 5 \frac{π}{4}] \implies >0$
...
$[\frac{π}{4}+k\frac{π}{2}, \frac{3π}{4}+k\frac{π}{2}] \implies g(\frac{π}{4}+k\frac{π}{2})g(\frac{3π}{4}+k\frac{π}{2})=...$
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Genius III
Dimostrare che, usando il teorema di Rolle,che fra due radici dell'equazione e^x·SIN(x) - 1 = 0 esiste almeno una radice dell'equazione e^x·COS(x) + 1 = 0
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Chiamiamo:
f(x) = e^x·SIN(x) - 1 e g(x) = e^x·COS(x) + 1
Quindi consideriamo:
f(x) = e^x·SIN(x) - 1
che risulta essere continua nell'intervallo a ≤ x ≤ b e derivabile nei sui punti interni con a < b ed in tali estremi risulta:
e^a·SIN(a) - 1 = e^b·SIN(b) - 1 = 0
(cioè f(a)=f(b)=0) Quindi calcoliamo la derivata f'(x):
f'(x) = e^x·(COS(x) + SIN(x))
Per il teorema di Rolle esiste almeno un punto dell'intervallo considerato:
a < x = c < b
per cui risulta nulla f'(x):
e^c·SIN(c) = - e^c·COS(c)
In esso la funzione vale:
f(c) = e^c·SIN(c) - 1 = - e^c·COS(c) - 1=0
ma x = c è una radice dell'equazione g(x)=0 risultando:
g(c)=- e^c·COS(c) - 1=0
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Genius III
@lucianop Scusa da dove ha ricavato che f(c)=0?
Non è che f(c)=0, ma è g(c)=0 che è quello che volevamo sapere.
@lucianop No scusi, lei ha scritto questo passaggio:
In esso la funzione vale:
f(c) = e^c·SIN(c) - 1 = - e^c·COS(c) - 1=0
Da dove ha tratto questa informazione, noi sappiamo che f’(c)=0, ma non che f(c)=0
Hai ragione controllerò in seguito .