Quesito Integrali

$ f(x) = | 2x-4| $

possiamo rappresentarla come

$ f(x) = \begin{cases} 2x-4 \quad per \; x \ge 2 \\4-2x \quad per \; x \lt 2 \end{cases} $

L'insieme di tutte e sole le primitive per ogni tratto saranno

$ F(x) = \begin{cases} x^2-4x+c_1 \qquad per \; x \ge 2 \\-x^2+4x+c_2 \quad per \; x \lt 2 \end{cases} $

Sappiamo che F(x) deve essere derivabile quindi continua, imponendo la continuità si ha

$ c_1 = 4  \; e \; c_2 = -4$

Sin qui ho riportato quanto hai fatto. A questo punto è interessante verificare che F(x) è una primitiva di f(x), la primitiva dove c = 0.

$ \frac{F(x)}{dx} = f(x) $ 

Abbiamo F(x) espressa come funzione definita a tratti, riduciamola alla forma normale

$ F(x) = \begin{cases} x^2-4x+4 \qquad per \; x \ge 2 \\-x^2+4x-4 \quad per \; x \lt 2 \end{cases} $

che può essere espressa come 

$ F(x) = |x^2-4x+4|$

Passiamo alla derivata ricordando che $ \frac{d|h(x)|}{dx} = sgn(h(x)) \cdot\frac{dh(x)}{dx} $

$ \frac{d|F(x)|}{dx} = sgn(F(x)) \cdot\frac{dF(x)}{dx} $ 

$ \frac{d|F(x)|}{dx} = sgn(F(x)) \cdot\frac{d(x^2-4x+4)}{dx} $

$ \frac{d|F(x)|}{dx} = sgn(F(x)) \cdot (2x-4) = |2x-4| = f(x) $

F(x) è sicuramente derivabile. Non lo dimostro ma tieni presente che in Inglese l'integrale indefinito è detto "antiderivative" visto che vale

$  \frac{d}{dx} \int_{x_0}^x f(t) dt = f(x) $

Volgarmente "l'operatore derivata è l'operatore inverso dell'operatore integrale". 

"Non dovremmo verificare anche l'uguaglianza del limite della derivata destra e sinistra in x=2?" Se vuoi puoi farlo come esercizio la teoria ci assicura la derivabilità di F(x).

​La mia domanda è: cosa ci garantisce che, una volta resa continua la funzione F(x) tramite le costanti, essa sia automaticamente anche derivabile nel punto di raccordo? Non dovremmo verificare anche l'uguaglianza del limite della derivata destra e sinistra in x=2?"

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...puoi (se F è continua e derivabile ... l'hai costruita tu!!!)

...vedi Gregorius