Data la funzione
$$
z=x^{2}+y^{2}-4 y+4
$$
e un suo vincolo
$$
x^{2}+y^{2}-4=0 \text { , }
$$
sia $\bar{H}$ l'hessiano orlato della corrispondente funzione lagrangiana. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Il punto $(0 ; 2)$ è di:
A) massimo, essendo $\bar{H}<0$.
B) minimo, essendo $\bar{H}<0$.
C) minimo, essendo $\bar{H}>0$.
D) minimo, essendo $\bar{H}=0$.
E) massimo, essendo $\bar{H}=0$.
4
punti
Livello 0
Di nuovo.
La funzione: z = x^2 + y^2 - 4·y + 4 si può scrivere come:
z = x^2 + (y^2 - 4·y + 4)------> z = x^2 + (y - 2)^2
è quindi un paraboloide di rotazione con un valore minimo in corrispondenza del suo vertice (0,2) e che vale zero=0.
Quindi in corrispondenza di (0,2) si ha un minimo. Siccome questo punto appartiene al vincolo deve essere preso in considerazione. Le risposte papabili sono quindi la B e la D.
Vediamo i calcoli dove portano:
l = x^2 + y^2 - 4·y + 4 + λ·(x^2 + y^2 - 4)
Le tre derivate parziali devono essere annullate:
{2·x·(λ + 1) = 0
{2·y·(λ + 1) - 4 = 0
{x^2 + y^2 - 4 = 0
La soluzione del sistema è: [x = 0 ∧ y = 2 ∧ λ = 0, x = 0 ∧ y = -2 ∧ λ = -2]
quindi (0,2,0) è un punto critico.
L'Hessiano orlato è dato dalle derivate seconde (è un determinante)
|0........2x.................2y|
|2x...2·(λ + 1).............0|
|2y.......0..........2·(λ + 1)|
Per i valori ottenuti delle tre variabili vale:
|0.........0..................4|
|0.........2..................0|
|4..........0.................2|
Hessiano orlato=-32<0 minimo. Quindi risposta corretta è B
78391
punti
Genius II
