Quesito formula

Ciao @seilu!

Se qualcosa si può trovare mediante un programma, allora sicuramente c'è una formula sotto che viene implementata. Che poi sia una formula esatta o sia un algoritmo che consenta di approssimare una soluzione, la matematica ti dà comunque la risposta.

Dato che il quesito non è del tutto chiaro sull'impostazione di base (come dev'essere fatto questo arco di circonferenza? E' proprio un arco di circonferenza o è una qualsiasi curva che collega le due rette? Cosa vuol dire R4? C'è un vincolo sul raggio?) cercherò di darti una mia interpretazione.

Immagino che l'intento sia questo: date due rette (che possono essere ad esempio i profili di un oggetto), vogliamo collegarle con un angolo arrotondato di raggio dato. Sottinteso che il collegamento dev'essere "liscio", senza spigoli, dunque la curva da trovare deve collegarsi ad entrambe le rette senza creare asperità (leggi: in modo che la funzione sia continua e derivabile).

Se questa è la giusta interpretazione, allora ecco la mia soluzione:

Consideriamo l'equazione delle due rette.

In questo caso abbiamo 

$ x = -tan(10)z +25$ -> $tan(10)z + x -25 = 0$

$ z = 60$ -> $z-60=0$

che sono rispettivamente la retta inclinata di -10° e di quota 25 e la retta verticale in z=60.

Ora la mia idea è trovare l'arco di circonferenza passante per A e B scelto in modo che colleghi le due rette senza creare punti di non derivabilità: la retta deve quindi "continuare" nella circonferenza senza angoli e ciò implica che le due rette devono essere le tangenti alla circonferenza nei punti A e B.

Da un teorema di geometria ( https://library.weschool.com/lezione/teorema-delle-tangenti-cerchio-circonferenza-secante-tangente-12874.html), sappiamo che, date le due tangenti a una circonferenza, il centro di essa si troverà sulla bisettrice delle due tangenti.

Dunque calcoliamo la bisettrice delle tangenti (ometto i calcoli):

$b: -0.64 z + 0.77 x + 27.52 = 0 $

$ 0.77 x = 0.64z -27.52$

$ x = 0.83 z - 35.7$

Il generico punto sulla bisettrice avrà dunque coordinate (approssimo):

$ P(z, 0.83 z- 35.7)$

Ora dobbiamo fare in modo che il nostro P, centro della circonferenza, si trovi alla distanza voluta dalle due tangenti (la distanza è uguale dalle due rette proprio perché P sta sulla bisettrice). 

Se interpreto bene la traccia e R4 indica che vogliamo una circonferenza di raggio 4, allora possiamo chiedere che:

$d(P, r_B)= 4$

cioé

$|z-60| = 4$

che ci dà come soluzioni

$ z = 64$ o $z = 56$

 

Poiché noi vogliamo che il centro sia nel semipiano compreso tra le due rette e non fuori, prendiamo z=56 da cui l'altra coordinata del centro sarà:

$x = 0.83(56) - 35.7 = 10.78$

 

Quindi la circonferenza avrà equazione:

$(z-56)^2 + (x-10.78)^2 = 16$

 

E i punti A e B si calcolano facilmente (come intersezione ad esempio) e saranno:

A=(56.69, 15)

B=(60, 11.06)

 

Dal disegno si può vedere che la linea rossa, formata dalle rette e dall'arco, effettivamente raccorda le rette senza creare angoli strani.

 

 

Riassumendo e generalizzando penso che questo possa essere il procedimento implementato in autocad:

- Calcolare la bisettrice tra le rette date

- Trovare il punto sulla bisettrice di distanza dalle rette assegnata

- Tracciare la circonferenza (e l'arco di circonferenza) di centro il punto trovato e raggio dato

 

Un saluto!

Noemi

 

 

 

 

Ci ho provato ma qualcosa mi sembra incoerente 

Se guardiamo il grafico

zB = 10/11*60 = 600/11 = 54.54

xB = 25 - xB * tg 10° = 25 - 600/11*0.17633 = 15.38

non é coerente col fatto che i 4/6 di 25 dovrebbero essere 16.67

zA = 60 ( o un pò più alta ? ) 

e possiamo farci venire qualche idea : 

il centro deve stare su z + x = 0 o é solo una mia impressione ? 

Le coordinate del centro devono essere stimate dal grafico ?

La xC sembra 12 ma é solo una stima 

 

Considerando che il raggio $R=4$ si tratti di un raccordo.

Punto d'incontro della retta inclinata a 10° con la verticale a $x= 60$:

$y= 25-60tan(10°) = 14,42$ $[60; 14,42]$;

ampiezza dell'angolo al centro dell'arco di raggio 4  $α= 90-10 = 80°$;

la bisettrice divide l'ampiezza in due angoli di $\frac{α}{2} = 40°$;

quindi:

punto $A_x= 60$;

punto $A_y= 14,42-4tan(40°) = 11,064$;

punto $B_x= 60-4+4sen(10°) = 56,695$;

punto $B_y= 11,064+4cos(10°) = 15,003$.

 

 

Inizio col motivare i click in su applicati alle precedenti risposte.
* @LucianoP per la delicatezza con cui t'ha fatto notare che la tua presentazione è veramente a PdL (Pene di Levriero) o, se preferisci, puoi pensare a un Segugio o a un Bracco: ma sempre di cani si tratta.
* @EidosM per aver evidenziato le più grossolane incongruenze segnalate da Luciano.
* @n_f a cui ne avrei volentieri clickato due se il software l'avesse consentito:
** uno per averti rammentato che se qualcosa la può fare un computer sotto c'è un modello matematico di quella cosa (von Neumann inventò l'instruction set in un lavoro sulla teoria della dimostrazione);
** la seconda per avermi risparmiato il fastidio di costruire una ragionevole versione della tua domanda a PdL, alla quale rispondo per piccoli passi e con un ulteriore aggiustamento.
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Qual che sia il tuo problema originale, quando lo presenti in pubblico devi farlo "educatamente": chiama x le ascisse, non le ordinate che, fra gente beneducata, si chiamano y.
Con le coordinate rinominate secondo creanza la lettura del disegno è come segue.
I fattori di scala sono: in ascissa "un quadretto : 60/11"; in ordinata "un quadretto : 5/12".
In un riferimento non monometrico come si stimano le tangenze? 'a Maronn' 'o sape!
Per evitare il dilemma "vale l'occhio o vale il calcolo?" decido (in modo altrettanto arbitrario delle interpretazioni di Noemi) di ragionare in un sistema monometrico con unità "un quadretto".
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Il luogo dei punti P(x, y), fra cui il centro C dell'arco AB, equidistanti dalla retta verticale
* r ≡ x = 11
e da quella digradante (pendenza = - tg(10°) ~= 216/1225 ~= - 0.176)
* s ≡ y = 6 - tg(π/18)*x
è l'iperbole equilatera Γh degenere sui suoi asintoti (le bisettrici di r ed s)
* Γh ≡ |Pr|^2 = |Ps|^2 ≡ (x - 11)^2 = (x*sin(π/18) + y*cos(π/18) - 6*cos(π/18))^2 ≡
≡ (x*sin(π/18) + y*cos(π/18) - 6*cos(π/18))^2 - (x - 11)^2 = 0
da cui la bisettrice b d'interesse
* b ≡ y = (1/cos(π/18) - tg(π/18))*x - 11/cos(π/18) + 6 ~≡
~≡ y = 0.839*x - 5.17
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DA QUI IN POI LA DATTILOGRAFIA DIVENTA INTOLLERABILE: uso solo valori approssimati.
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Il punto B(10, 4) dista dalla b il raggio r dell'arco AB e il centro C è il piede su b della normale n per B.
Le normali a b sono
* n(q) ≡ y = q - x/(1/cos(π/18) - tg(π/18))
fra cui quella per B è
* n(q) ≡ y = 4 + 10/(1/cos(π/18) - tg(π/18)) - x/(1/cos(π/18) - tg(π/18)) ~≡
~≡ y = 15.9*x - 1.19*x
da cui
* C(10.38, 3.543)
e inoltre
* r^2 = |Bb|^2 ~= 0.3558
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Infine l'equazione della circonferenza
* Γ ≡ (x - 10.38)^2 + (y - 3.543)^2 = 0.3558
e il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y*%28x-11%29*%286-0.176*x-y%29%3D0%2C%28x-10.38%29%5E2--%28y-3.543%29%5E2%3D0.3558%5Dx%3D-0.1to12%2Cy%3D-0.1to7