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Quesito di probabilità

  

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Una scatola contiene 30 palline, numerate da 1 a 30. Le palline sono di due colori diversi:
quelle il cui numero è multiplo di 3 sono nere, le rimanenti sono bianche. Si estraggono 3 palline simultaneamente. Determinare la probabilità degli eventi:

A : «le palline sono di uno stesso colore»;

B : «il più piccolo dei numeri estratti è $15 »$;

C: «le palline sono di colori diversi».

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4 Risposte



3

Palline nere=10

Palline bianche=20

————————————

A : «le palline sono di uno stesso colore»

palline stesso colore=3 palline bianche o 3 palline nere

(eventi incompatibili quindi somme delle due probabilità)

p= v/n

n= casi ugualmente possibili= COMB(30, 3) = 4060          ( 30·29·28/3! = 4060)

v=

COMB(10, 3) = 120+

+COMB(20, 3) = 1140

------------------------

v=120 + 1140 = 1260

p= 1260/4060 = 9/29=0.3103448275=31.03%

————————————————————-

B : «il più piccolo dei numeri estratti è »15»;

15 gli altri due numeri vanno da 16 a 30 = tot. numeri=15

Supponiamo: {15,16,17}----->v=COMB(15, 2) = 105

p=105/4060 = 3/116=0.0258620=2.59%

-------------------------------------------

C: «le palline sono di colori diversi»

cioè non sono di uno stesso colore (evento contrario al primo)

p=1 - 9/29 = 20/29=0.6896551724=68.97%

 

 

 

 

 

 

 



3

Nella scatola le palline nere sono 10, quelle bianche $20.$ Calcoliamo le probabilità applicando la definizione classica. Il numero di estrazioni possibili è:

$$
C=\left(\begin{array}{c}
30 \\
3
\end{array}\right)=\frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3 \cdot 2 \cdot 1}=4060
$$

 

Probabilità dell'evento A.

L'evento si verifica se e solo se le palline sono tutte bianche oppure tutte nere. Consideriamo gli eventi tra loro incompatibili:
$A_{1}$ : «le palline sono tutte bianche»; $A_{2}:$ «le palline sono tutte nere».

Il numero di casi favorevoli all'evento $A_{1}$ è:

$$
N_{1}=\left(\begin{array}{c}
20 \\
3
\end{array}\right)=\frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1}=1140
$$

e quindi la probabilità di $A_{1}$ è:

$$p\left(A_{1}\right)=\frac{N_{1}}{C}=\frac{1140}{4060}=\frac{57}{203} \simeq 0,281$$

Il numero di casi favorevoli all'evento $A_{2}$ è:$$
N_{2}=\left(\begin{array}{c}
10 \\
3
\end{array}\right)=\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}=120
$$

e quindi la probabilità di $A_{2}$ è:

$$p\left(A_{2}\right)=\frac{N_{2}}{C}=\frac{120}{4060}=\frac{6}{203} \simeq 0,030$$

Poiché $A_{1}$ e $A_{2}$ sono incompatibili, la somma dell'evento unione è dato dalla somma delle due probabilità:

$$
p(A)=p\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=p\left(A_{1}\right)+p\left(A_{2}\right)=\frac{57}{203}+\frac{6}{203}=\frac{63}{203}=\frac{9}{29} \simeq 0,310
$$

Probabilità dell'evento B.

L'evento si realizza se una delle palline estratte è il 15 e le altre due palline hanno numerazione maggiore, cioè sono numerate da 16 a 30. Il numero dei casi favorevoli è dunque:

$$
N_{B}=\left(\begin{array}{c}
15 \\
2
\end{array}\right)=\frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1}=105
$$

e la probabilità di $B$ è:

$$
p(B)=\frac{N_{B}}{C}=\frac{105}{4060}=\frac{3}{116} \simeq 0,026
$$

Probabilità dell'evento C.

L'evento $C$ si verifica se e solo non è vero che le palline sono tutte bianche oppure tutte nere. Si tratta dell'evento contrario dell'evento $A$, quindi:

$$
p(C)=p(\bar{A})=1-p(A)=1-\frac{9}{29}=\frac{20}{29} \simeq 0,690
$$



2

Le palline nere sono 10 e le bianche sono 20

Pa = (C(10, 3)C(20.0)+C(20,3)C(10,0)

/C(30.3)

Pb = C(14,0)C(1,1)C(15,2)/C(30.3)

Pc = 1 - Pa

Risultati

0.3103, 0.0259, 0.6897



1

Mi limito all'analisi "a"

10 nere

20 bianche

ATTENZIONE A COME E' POSTO IL PROBLEMA 

se la prima  esce bianca , la probabilità che la seconda sia ugualmente bianca è 19/29 e la probabilità che la terza sia ugualmente bianca è di 18/28 .

La probabilità complessiva p di avere 3 palle bianche, non avendo dichiarato che devono essere bianche , è di 18*19/(28*29) = 0,421 (42,1 %)

Se , invece , dichiaro prima dell'estrazione  che devono essere bianche( rinunciando alla aleatorietà della prima estrazione ) avrò una probabilità complessiva p' pari a :

p' = 20*19*18/(30*29*28) = 0,281 (28,1 %)

 

se la prima  esce nera , la probabilità che la seconda sia ugualmente nera è 9/29 e la probabilità che la terza sia ugualmente nera è di 8/28 .

La probabilità complessiva p'' di avere 3 palle nere, non avendo dichiarato che devono essere nere , è di 8*9/(28*29) = 0,0887 (8,87 %)

Se , invece , dichiaro prima dell'estrazione  che devono essere nere ( rinunciando alla aleatorietà della prima estrazione ) avrò una probabilità complessiva p''' pari a :

p''' = 10*9*8/(30*29*28) = 0,0296 (2,96 %)

.....

.....

 

 



Risposta




SOS Matematica

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