[Risolto] Quesito di maturità

y = 3·a·x - a·x^2

a > 0

Metto a sistema:

{y = a·x·(3 - x)

{y = 0

che risolto fornisce: [x = 0 ∧ y = 0, x = 3 ∧ y = 0]

Quindi la base del rettangolo circoscritto alla parabola, qualunque sia a vale 3

x = 3/2 è asse della parabola

L'altezza del rettangolo è l' ordinata del vertice

y = 3·a·(3/2) - a·(3/2)^2---> y = 9·a/4

L'area del rettangolo vale 

A = 3·9·a/4  = 27·a/4

ma l'area del rettangolo circoscritto è pari a 3/2 di quella del segmento parabolico. Quindi deve essere:

27·a/4 = 3/2·18----> a = 4

Una parabola con asse di simmetria ortogonale all'asse x delimita con questo un segmento parabolico retto la cui area S è due terzi del prodotto fra il modulo dell'ordinata del vertice |yV| e la distanza fra gli zeri |X2 - X1| (Teorema di Archimede).
Le parabole non degeneri del fascio
* Γ(a) ≡ y = 3*a*x - a*x^2 ≡ y = a*x*(3 - x) ≡ y = 9*a/4 - a*(x - 3/2)^2
hanno
* apertura - a != 0
* vertice V(3/2, 9*a/4)
* zeri X1(0, 0) oppure X(3, 0), distanti tre
quindi
* S = (2/3)*|9*a/4|*3 = 9*|a|/2
da cui il sistema risolutivo
* (9*|a|/2 = 18) & (a > 0) ≡ a = 4
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Nota personale
Il testo contiene tre errori d'ortografia.
Quello doppio, "é" invece di "è", denota povertà linguistica, ma non fa danno al problema.
Il terzo però, "f(x) = 3ax - ax^2" invece di "f(x) = y = 3ax - ax^2", rende insensato il seguito del testo in quanto parlare di segmento parabolico e di area ha senso solo se si è in un riferimento con due variabili e non con la sola x.
Devi stare più attento a come scrivi.

La risolvente del sistema parabola - asse x é

ax^2 - 3ax = 0

con D = 9a^2.

Applicando la formula di Francesco, risulta allora

rad(D^3)/6a^2 = 18

27a^3/6a^2 = 18

9/2 a = 18

a = 2/9 * 18 = 4.