Salve, ci è stato assegnato il seguente esercizio: Dare un esempio di sottoinsieme U in R^2 tale che U sia chiuso rispetto alla somma e all'inverso additivo (per ogni u di U risulta -u di U), ma che U non sia sottospazio vettoriale di R^2. Poi dare un esempio di sottoinsieme U in R^2 tale che U sia chiuso rispetto al prodotto per scalare, ma che U non sia sottospazio vettoriale di R^2.(no insieme vuoto).
Grazie in anticipo.
3
punti
Livello 0
Problema:
Si individui un sottoinsieme \(U\subseteq\mathbb{R}^2\) chiuso rispetto alla somma e all’inverso additivo, ma non sottospazio vettoriale. Si individui inoltre un sottoinsieme \(V\subseteq\mathbb{R}^2\) chiuso per moltiplicazione per scalari (reali), ma non sottospazio perché non è chiuso per la somma.
Soluzione:
1. Si considera
\[
U=\mathbb{Z}^2=\{(m,n)\mid m,n\in\mathbb{Z}\}.
\]
– Se \((m_1,n_1),(m_2,n_2)\in\mathbb{Z}^2\), allora
\[
(m_1,n_1)+(m_2,n_2)=(m_1+m_2,\;n_1+n_2)\in\mathbb{Z}^2
\]
e
\[
-(m,n)=(-m,-n)\in\mathbb{Z}^2.
\]
Questo insieme non è chiuso per moltiplicazione per uno scalare reale generico: ad esempio \(\tfrac12\,(1,0)=(\tfrac12,0)\notin\mathbb{Z}^2\).
Quindi \(U\) è un sottogruppo additivo ma non un sottospazio vettoriale.
2. Si considera l’unione dei due assi coordinate:
\[
V=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\;\cup\;\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
\]
Se \((x,0)\in V\) allora per ogni \(\lambda\in\mathbb{R}\) si ha \(\lambda\,(x,0)=(\lambda x,0)\in V\), e similmente per \((0,y)\).
Ma
\((1,0)\in V\) e \((0,1)\in V\),
però
\[
(1,0)+(0,1)=(1,1)\notin V.
\]
Quindi \(V\) non è chiuso per la somma e non è un sottospazio vettoriale.
6218
punti
Livello 6
