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[Risolto] Quesito delle superiori sulle disequazioni e i moduli

  

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Quesito

Dimostra che per ogni valore reale di $a$ la disequazione $x^{4}-a^{2}\leq0$ ammette almeno una soluzione.

Dimostra e illustra con un esempio che se $|a|>1$ allora la disequazione non ammette $a$ come soluzione.

Precisazione

La prima richiesta credo di averla risolta, nel senso che ho trovato la soluzione della disequazione, cioè

$-\sqrt{|a|}\leq{x}\leq\sqrt{|a|}$

e quindi essendo i radicandi sempre positivi o nulli non ho bisogno di imporre alcuna condizione. Perciò qualunque valore di $a$ va bene.

Però se ho sbagliato mostratemi il procedimento corretto.

 

Invece la seconda richiesta non l’ho proprio ben capita, quindi spero possiate aiutarmi soprattuto con questa.

 

Grazie tante in anticipo! 😊

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1 Risposta
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Il primo quesito lo hai fatto correttamente. Per essere più precisi, dovresti precisare come sei riuscito ad arrivare a quella soluzione, ovvero consideri prima il caso a=0 che ha come unica soluzione x=0; a>0 che ha come insieme di soluzioni l'intervallo [-√a, √a] e a<0 che ha come insieme di soluzioni l'intervallo [-√-a, √-a]. Quindi tutti questi casi si possono inglobare in uno solo scrivendo come hai scritto tu, quindi questo dimostra che tale equazione ammette almeno una soluzione per ogni valore di a. Venendo al secondo quesito è molto semplice. Consideri innanzitutto a>1. Se a>1, a>0 quindi l'insieme delle soluzioni è [-√a, √a] e se a>1, si ha evidentemente che a∉[-√a, √a], poichè se a>1, √a<a. Se a<-1, -a>1, quindi puoi ricondurti al caso precedente e ottenere che -a∉[-√a, √a] e di conseguenza a∉[-√a, √a]. Come esempi puoi considerare il caso in cui a=2 e a=-2 e calcolare direttamente le soluzioni, e vedrai che in questi casi x=a non è soluzione, visto che tra l'altro si è dimostrato in generale.

@matematico Grazie mille! Ora credo di aver capito. 😃






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