Quesito, calcolo differenziale

a. La funzione f(x) è continua in [0, π/2)

La funzione f(x) è continua in (0, π/2) essendo prodotto, composizione di funzioni elementari definite e continue in (0, π/2).

Rimane da provare che lo sia anche nel punto x = 0, cioè che

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$

Ricordiamo l'ultimo limite notevole, cioè $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \cdot lnx = 0^-$

Il limite da provare può essere riscritto come

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2} \frac{sinx}{x} \frac{2x}{sin(2x)} \cdot sin(2x) \cdot ln(sin(2x)) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot0 = 0$

Possiamo così concludere che f(x) è continua in [0, π/2)

b. La funzione f(x) non è derivabile in [0, π/2)

La funzione f(x) è derivabile in (0, π/2) essendo prodotto, composizione di funzioni elementari definite e continue e derivabili in (0, π/2).

Rimane da provare che lo sia anche nel punto x = 0, cioè che esiste la derivata laterale destra.

$ f'(x) = 2sin(x) \, cot(2x) + cos(x)ln(sin(2x)) $

Notiamo che la derivata è essa stessa una funzione continua

passiamo al calcolo della derivata laterale destra

$ D^+f'(0) =  \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f'(x) = $
= $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} 2sin(x) \, cot(2x) + cos(x)ln(sin(2x)) = 0 +(-\infty) = -\infty $

La derivata per esistere deve essere finita.

Conclusione. f(x) non è derivabile in [0, π/2)