Quesito

 La forma del polinomio limita drasticamente il numero di intersezioni con l'asse delle ascisse a causa del numero limitato di zeri della sua derivata.

Infatti il trinomio è abbinato alla funzione:

y = x^n + p·x + q

La ricerca degli zeri del trinomio coincide con la ricerca delle intersezioni di tale funzione con l'asse delle x.

Per il Teorema di Rolle dobbiamo considerare la derivata :

y' = 0----->n·x^(n - 1) + p =0

per cui gli zeri di essa, ottenibili da x^(n - 1) = - p/n

sono al massimo 2 e corrisponderebbero a tre intersezioni della funzione stessa con l'asse delle x.

Precisamente se n è dispari, ad esempio n=5 con p<0 si avrebbero al massimo due radici della derivata y'

ed in corrispondenza al massimo tre zeri della funzione stessa.

Per n pari , ad esempio n=4  una sola radice corrispondente a due zeri della funzione stessa.

Esempio 1

n = 5

p = -16

q = 4

y = x^5 - 16·x + 4

y'=0: x = - 2·5^(3/4)/5 ∨ x = 2·5^(3/4)/5

Esempio 2

n = 4

p = -8

q = -3

y = x^4 - 8·x - 3

y'=0 : x = 2^(1/3)