[Risolto] Esercizi estremi e concavità funzioni

Ciao!

per calcolare gli estremi di una funzione dobbiamo farne la derivata e studiarne il segno, mentre per la concavità dobbiamo studiare il segno della derivata seconda.

$$ y = \ln(4x-x^2) $$

Dominio: $4x-x^2 > 0 $ che ci dà come risultato $ 0 < x < 4 $

Derivata prima: la funzione è composta, con $f(x) = \ln(x)$ e $g(x) = 4x-x^2$. La derivata della composta ha la seguente formula:

$D(f(g(x)))= f'(g(x))\cdot g'(x)$ quindi

$y' = \frac{1}{4x-x^2}\cdot (4-2x) = \frac{4-2x}{4x-x^2} \geq 0 $

Il denominatore è sempre positivo nel dominio (perché la positività di quel termine è proprio la condizione d'esistenza del logaritmo), quindi il segno è dato solo dal numeratore:

$4-2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 $ 

Quindi la funzione è crescente per $x \in (0;2)$ e decrescente in $ x \in (2,4)$. Di conseguenza l'unico estremante lo ha in $x = 2 $ dove ha un massimo di valore

$ y = \ln(8-4) = \ln(4) $

$$ y = e^x \cdot x^2 $$

Dominio $= \mathbb{R}$

Derivata prima: è un prodotto delle funzioni $f(x)= e^x$, $g(x) = x^2$ e il prodotto di funzioni ha la seguente formula di derivazioni:

$D(f\cdot g ) = f' \cdot g + f \cdot g'$

quindi: $e^x \cdot x^2+e^x \cdot (2x) $

$e^x (x^2+2x)$

Derivata seconda: è ancora un prodotto di funzioni

$e^x (x^2+2x)+e^x(2x+2) = e^x(x^2+4x+2) \geq 0$

$e^x > 0 \forall x \in \mathbb{R}$ mentre

$x^2+4x+2 \geq 0 $ ha delta $\Delta = 16-8 = 8$ quindi:

$x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{2}$  sono le soluzioni dell'equazione associata, da cui la soluzione della disequazione è:

$-2 -\sqrt{2} \leq x \leq -2+\sqrt{2}$

La concavità quindi è positiva per $x \in [-2 -\sqrt{2}; -2 +\sqrt{2}]$ e negativa in $ x \in (-\infty; -2 -\sqrt{2}) \cup (-2 +\sqrt{2}; +\infty)$

la funzione $y=ln(4x-x^2)$ è definita soltanto per $0<x<4$, estremi rigorosamente esclusi in quanto l'argomento del logaritmo ($4x-x^2$) deve essere strettamente >0.

Quindi va calcolato 

$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} ln(4x-x^2)$

e 

$\lim\limits_{x \rightarrow 4^-} ln(4x-x^2)$

i due limiti non sono difficili e si calcolano direttamente:

$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} ln(4x-x^2)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} ln(0^+)=-\infty$

$\lim\limits_{x \rightarrow 4^-} ln(4x-x^2)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} ln(0^+)=-\infty$

La funzione è continua, quindi avrà almeno un massimo relativo nell'intervallo $0<x<4$.

Calcoliamo la derivata prima:

$y' = \frac{2(2-x)}{x(x-4)}$ poniamo $y'=0$ e troviamo il punto di massimo relativo (in questo caso anche assoluto):

$y'=0$ --> $2-x=0$ --> $x=2$

Quindi in $x=2$ la funzione ha un massimo relativo che vale $ln(4)$

Calcoliamo la derivata prima di $y=e^x x^2$:

$y'=e^x x^2 + e^x 2x$ (derivata del prodotto di funzioni)

quindi $y'=e^x (x^2+2x)$

Calcoliamo la derivata seconda:

$y"=e^x (x^2+2x)+e^x (2x+2)=e^x (x^2 +4x +2)$

Per studiare la concavità va studiato il segno di $y"$  

La funzione si presenta come prodotto di due funzioni:

$e^x$ è sempre positiva per ogni $x$

$(x^2 +4x +2) > 0$ porta a dire $x<-2-\sqrt{2}$ U $x>-2+\sqrt{2}$

Quindi per 

$x<-2-\sqrt{2}$ la concavità è positiva (verso l'alto)

per

$-2-\sqrt{2}<x<-2+\sqrt{2}$ la concavità è negativa (verso il basso)

e per finire per

$x>-2+\sqrt{2}$ la concavità è positiva (verso l'alto)