Per quale valore di a, appartenente a R, la funzione f(x)= x^4+ax^2+2x+1 ammette un punto di flesso orizzontale
Per quale valore di a, appartenente a R, la funzione f(x)= x^4+ax^2+2x+1 ammette un punto di flesso orizzontale
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aiuto è urgente
Per il teorema sulle derivata successive, una funzione ha un flesso orizzontale in un punto $x_0$ se in quel punto si annullano sia la derivata prima che quella seconda, ma non la terza.
Calcoliamo le derivate:
$f(x)= x^4 +ax^2 +2x+1$
$f'(x)= 4x^3 +2ax +2$
$f''(x) = 12x^2 +2a$
$f'''(x)= 24x$
Notiamo prima di tutto che la derivata terza si annulla solo per $x=0$ quindi per questo valore non possiamo dir nulla, ma se ci esce un valore differente di x, va bene.
Chiediamo dunque che derivata prima e seconda si annullino:
{$4x^3 +2ax +2 = 0$
{$12x^2 +2a=0$
Dalla seconda:
{$4x^3 +2ax +2 = 0$
{$a = -6x^2$
e sostituendo nella prima:
{$4x^3 +2(-6x^2)x +2 = 0$
{$a = -6x^2$
Risolviamo la prima:
$4x^3 -12x^3 +2 = 0$
$ -8 x^3 = -2$
$ x^3 = \frac{2}{8}$
$ x = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$
da cui
$ a = -6 * (\frac{\sqrt[3]{2}}{2})^2 = -6 \frac{\sqrt[3]{4}}{4} = -\frac{3}{2} \sqrt[3]{4}$
Noemi
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