Verifica che il punto $x_0$ indicato è un punto di accumulazione per l'insieme dato.
se mi potete spiegare come fare. grazie.
Verifica che il punto $x_0$ indicato è un punto di accumulazione per l'insieme dato.
se mi potete spiegare come fare. grazie.
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Livello 1
ho provato a svolgerlo seguendo l'esempio guida dato dal libro
vi allego il mio svolgimento...non so se è corretto.. mi sono bloccato alla fine
@mario dato che $n$ è naturale, i valori di $\frac{2}{n+1}$ sono positivi, quindi non ha senso chiedersi (o meglio, è ovvio) che:
$\frac{2}{n+1}>-\delta$
si infatti ho scritto che è sempre verificata. il problema è che la prof. vuole che seguiamo tutta la procedura spiegata dal libro.. io nella parte finale mi sono bloccato.
COME FARE: applicando le definizioni correnti, e come se no?
* «un punto P[0] si dice di accumulazione per un insieme di punti {P[k]} se qualunque suo intorno contiene sempre almeno un P[k] diverso da P[0]»
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Sull'insieme {x[n] = 2/(n + 1)}, con x reale ed n naturale si nota che
* 0 < x[n] <= x[1] = 1
* è composto di punti distinti
* tutti i suoi punti sono diversi da zero (il numeratore è 2 != 0)
* qualunque intorno (- ε, ε) dello zero, con ε piccolo a piacere, contiene ogni x[n] con n > (2 - ε)/ε
ESEMPIO
* ε = 1/1000
* n > (2 - 1/1000)/(1/1000) = 1999
* x[2000] = 2/(2000 + 1) ~= 0.0009995 < ε
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Genius I
@exprof grazie mille.
Prendi un intorno di $x_0=0$, quindi un intervallo del tipo $[0,\delta]$ con $\delta$ "piccolo a piacere".
ti devi chiedere se per ogni valore di $\delta$ puoi trovare un $n_1$ tale per cui per tutti gli $n>n_1$ gli elementi del tuo insieme stanno nell'intervallo. In parole povere: man mano che "stringo" l'intervallo, trovo sempre elementi dell'insieme che appartengono all'intervallo?
quindi si tratta di risolvere una disequazione:
$\frac{2}{n_1+1}< \delta $ -->
$n_1>\frac{2}{\delta}-1$
quindi la risposta è affermativa: comunque io scelga $\delta$ trovo sempre degli $n$ per cui gli elementi dell'insieme stanno nell'intorno di $x_0$.
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Livello 9
@sebastiano grazie.. mi potresti controllare se ho svolto bene l'esercizio e come continuare visto che mi sono bloccato .
@Mario ti ho risposto in un altro commento: ti sei bloccato facendo un conto che in realtà era inutile fare 🙂
@sebastiano quindi sto sbagliando a svolgerlo così.. purtroppo la mia prof. non spiega bene e ci dice di guardare gli esempi del libro .
@Mario no, non stai sbagliando, la procedura va bene, ma devi essere lucido a vedere che nella disequazione
$\frac{2}{n+1}>-\delta$
non ci sono conti da svolgere, in quanto a sinistra hai un numero certamente $>0$ e a destra hai un numero negativo, quindi questa disequazione è vera a prescindere.