Punti stazionari, giustificare e argomentare.

Problema:

Sia $f(x)$ una funzione continua in $[-1,1]$ e derivabile $[-1,1] \setminus \left\{0\right\}$. Dimostra che se $f'(x)>0$ per ogni $x \in (-1,0)$ e $f'(x)<0$ per ogni $x \in (0,1)$, allora $x=0$ è un punto di massimo relativo.

Soluzione:

Poichè la funzione è definita in $[-1,1]$, essa ammette massimo e minimo assoluto per il Teorema di Weierstrass. Per bisezione si può considerare la funzione su $[-1,0]$, anche in questo caso essa ammette massimo e minimo assoluto sempre grazie a Weierstrass. Dato che la funzione è derivabile in $[-1,1]$, a meno dello 0, essa risulterà derivabile anche in $(-1,0)$ dato che è sottoinsieme di $[-1,1]$. Poiché la derivata è strettamente positiva, essa implica la crescenza della funzione in $[-1,0]$, ciò implica che il massimo, che esiste per Weierstrass, si trovi in $x=0$ per questo ramo della funzione. Seguendo lo stesso ragionamento per l'insieme $[0,1]$ si deduce che il massimo del secondo ramo si trova anch'esso in $x=0$. Dato che la funzione è continua, il massimo sarà necessariamente in $x=0$.