Punti stazionari con parametro

a.

$ y(x) = \frac{ax-2}{x^2-ax+1} $

Non ammette ne massimi ne minimi. Essendo una funzione razionale fratta significa o che non vi sono punti stazionari oppure vi son dei punti stazionari associati a flessi orizzontali.

I punti stazionari sono dati dalla

$ y'(x) = \frac{4x-a(x^2+1)}{(-ax+x^2+1)^2} $
$ y'(x) = 0 $
$ 4x-a(x^2-a) = 0 $

i) Se a = 0 allora x = 0  la funzione ammette un estremante.

ii) Se a ≠ 0 allora le soluzioni dell'equazione di 2° grado sono  $ x = \frac{2\pm\sqrt{4-a^2}}{a} $

ii.1) per non avere soluzioni reali occorre che il discriminante sia negativo quindi 

$4-a^2 < 0 \; ⇒ \; a < -2  \; \lor \; a > 2 $

ii.2) a questi valori occorre aggiungere i punti dove la funzione ammette flessi orizzontali cioè a = ± 2.

Conclusione. La funzione non ammette ne massimi ni minimi per  a ≤ -2  V  a ≥ 2

b. y(x) ammette un massimo relativo in x = √3

Un massimo significa che si tratta di un punto stazionario quindi

$y'(\sqrt{3}) = 0$
$ \frac{4\sqrt{3} - 4a}{(4-a\sqrt{3})^2} = 0 $

$ a = \sqrt{3}$

La funzione è così $ y(x) = \frac{\sqrt{3}x-2}{x^2-\sqrt{3}x +1}$ 

Lascio a te la verifica che trattasi di un massimo.